2018版高考数学二轮复习 特色专题训练 专题03 直击函数压轴题中零点问题 理

《2018版高考数学二轮复习 特色专题训练 专题03 直击函数压轴题中零点问题 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题03直击函数压轴题中零点问题一、解答题1．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若在区间内有唯一的零点，证明：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，且，于是：①，②由①②得，设g(x)＝lnx−，(x∈(0，1))，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，31且.于是：①②由①②得，设，则，因此在上单调递减，又，根据零点存在定理，故.点

2、睛：本题考查了函数的单调性,零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，零点存在性定理，考查分类讨论思想，转化思想，构造函数的解题方法.2．设函数f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)．(1)当b＝1时证明：函数f(x)在区间内存在唯一零点；(2)若当x∈[1,2]，不等式f(x)<1有解．求实数b的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）先根据对称轴与定义区间位置关系确定函数f(x)在区间单调性，再根据区间端点函数值异号，结合零点存在定理确定零点个数（2）先分离变量化为对应函数最值问题：，再根据函数单调性确定函数最小

3、值，即得实数b的取值范围．31(2)由题意可知x2＋bx－1<1在区间[1,2]上有解，所以b<＝－x在区间[1,2]上有解．令g(x)＝－x，可得g(x)在区间[1,2]上递减，所以b

4、范围；（3）已知R且，，求证：方程在区间上有实数根.【答案】⑴见解析;⑵;⑶见解析.【解析】试题分析：（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可；（3）方程在区间上有实数根，即有零点，结合零点存在定理可以证明.试题解析：⑴,当时，，函数有一个零点；当时，，函数有两个零点⑶设，31则,在区间上有实数根，即方程在区间上有实数根.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分

5、离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．4．已知函数图象上一点处的切线方程为.(1)求的值;(2)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底).【答案】(1)a=2,b=1.(2).【解析】试题分析：本题考查函数与方程，函数与导数的综合应用．(1)根据导数的几何意义，得出两个方程，然后求解．(2)先利用导数研究函数h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m的单调性，根据单调性与极值点确定关系然后求解．31(2)由（1）得f(x)=2l

6、nx﹣x2，令h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x2+m，则，令h'(x)=0，得x=1(x=﹣1舍去)．故当x∈时，h'(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(1，e]时，h'(x)＜0，h(x)单调递减．∵方程h(x)=0在内有两个不等实根，∴，解得．∴实数的取值范围为.点睛：根据函数零点求参数取值或范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；31（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）利用方程根的分布求解，转化为不等式问题．（4）转化为两熟悉的函数

7、图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5．已知函数，其中为自然对数的底数，（I）若，函数①求函数的单调区间②若函数的值域为,求实数的取值范围（II）若存在实数,使得，且，求证：【答案】（1）①详见解析②实数的取值范围是；（2）；试题解析：（1）当时，.①.由得，由得.所以函数的单调增区间为，单调减区间为.②当时，，所以在区间上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增.在上单调递减，值域为,31因为的值域为，所以，即.（2）.若时，，此时在上单调递增.由可得，与相矛盾，同样不能有.不妨设，则有.因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以

8、当时，.由，且，可得故.又在单调递减，且，所以，31所以，同理.即解得，所以.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问