2019版高考数学大一轮复习第十二章不等式选讲第59讲绝对值不等式优选学案

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1、第59讲　绝对值不等式考纲要求考情分析命题趋势1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)≤＋.(2)≤＋.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：≤c，≥c，＋≥c.2017·全国卷Ⅰ，232017·全国卷Ⅲ，232016·江苏卷，21(D)解绝对值不等式是本部分在高考中的重点考查内容，其中以解含有两个绝对值的不等式为主．分值：5～10分1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么≤＋，当且仅当__ab≥0__时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么≤＋，当且仅当__(a－c)(c－b)≥0__时，等号成立．2．绝对

2、值不等式的解法(1)含绝对值的不等式＜a，＞a的解集不等式a＞0a＝0a＜0＜a__{x

3、－a＜x＜a}____∅____∅__＞a__{x

4、x＞a或x＜－a}____　{x

5、x∈R且x≠0}　____　R　__(2)≤c(c＞0)和≥c(c＞0)型不等式的解法①≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)对≥－当且仅当a＞b＞0时等号成立．(　×　)(2)对－≤当且仅当＞时等号成立．(　×　)(3)对≤＋当且仅当ab≤0时等号成立．(　√　)(4)≤c的解等价于－c≤ax＋b≤c.(　√　)(5)不等式＋＜

6、2的解集为∅.(　√　)2．设ab＜0，a，b∈R，那么正确的是(　C　)A．＞　B．＜＋C．＜　　　D．＜解析　由ab＜0，得a，b异号，易知

7、a＋b

8、＜

9、a－b

10、，

11、a－b

12、＝

13、a

14、＋

15、b

16、，

17、a－b

18、＞

19、

20、a

21、－

22、b

23、

24、，∴C项成立，A，B，D项均不成立．3．不等式1＜＜3的解集为(　D　)A．(0,2)　　　B．(－2,0)∪(2,4)C．(－4,0)　　　D．(－4，－2)∪(0,2)解析　1＜

25、x＋1

26、＜3⇔1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1⇔0＜x＜2或－4＜x＜－2.4．不等式＜2－3x的解集是(　C　)A．{x　　　B．{xC．{x　　　D．{x解析　

27、2x

28、－1

29、＜2－3x⇔3x－2＜2x－1＜2－3x⇔⇔⇔x＜.5．若不等式＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为__(5,7)__.解析　由

30、3x－b

31、＜4得－4＜3x－b＜4，即＜x＜.∵不等式

32、3x－b

33、＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则⇒∴5＜b＜7.一　绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简单．若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍．【例1】解不等式＋≥5.解析　将原不等式转化为

34、x－1

35、＋

36、x＋2

37、－5≥0，令f(x)＝

38、x－1

39、＋

40、x＋2

41、－5，

42、则f(x)＝作出函数的图象，如图所示．由图可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．二　绝对值不等式的证明(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式≤≤＋进行证明．(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．【例2】设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，若

43、a

44、≤1，求证：

45、f(x)

46、≤.证明　方法一　∵－1≤x≤1，∴

47、x

48、≤1.又∵

49、a

50、≤1，∴

51、f(x)

52、＝

53、a(x2－1)＋x

54、≤

55、a(x2－1)

56、＋

57、x

58、≤

59、x2－1

60、＋

61、x

62、＝1－

63、x

64、2＋

65、x

66、＝－2＋≤

67、.方法二　设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.∵－1≤x≤1，当x＝±1，即x2－1＝0时，

68、f(x)

69、＝

70、g(a)

71、＝1≤；当－1

72、a

73、≤1，∴－1≤a≤1，∴g(a)max＝g(－1)＝－x2＋x＋1＝－2＋；g(a)min＝g(1)＝x2＋x－1＝2－.∴－≤g(a)≤，∴

74、f(x)

75、＝

76、g(a)

77、≤.三　绝对值不等式的综合应用对于求y＝＋或y＝－型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝＋的函数只有最小值，形如y＝－的函数既有最大值又有最小值．【例3】(2017·全国卷Ⅰ

78、)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝

79、x＋1

80、＋

81、x－1

82、.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．解析　(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋

83、x＋1

84、＋

85、x－1

86、－4≤0.①当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x>1时，①式可化为x2＋x－4≤0，从而1