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时间:2018-12-16
《2018版高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教b版必修1(1)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4.1 函数的零点1.理解函数零点的概念.(重点)2.会求一次函数、二次函数的零点.(重点)3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P70~P71“例”以上部分内容,完成下列问题.1.定义如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做这个函数的零点.2.性质(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时,函数值变号.(2)两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)所有的函数都有零点
2、.( )(2)若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).( )(3)f(x)=x-只有一个零点.( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程实根个数的关系阅读教材P70“倒数第2行”~P71“例”以上的内容,完成下列问题.判别式ΔΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0的根有两相异实根x1,x2(x13、2有一个二重零点x1=x2没有零点已知函数f(x)=x2-2x+a的图象全部在x轴的上方,则实数a的取值范围是________.【导学号:97512030】【解析】 函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,所以Δ=4-4a<0,a>1.【答案】 (1,+∞)[小组合作型]求函数的零点 (1)函数y=1+的零点是( ) A.(-1,0)B.x=-1C.x=1D.x=0(2)求下列函数的零点.①f(x)=-x2-2x+3;②f(x)=x4-1.【精彩点拨】 求函数对应方程的根,即为函数的零点.【自主解答】 (1)令1+=0,解得4、x=-1,故选B.(2)①由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),所以方程-x2-2x+3=0的两根是-3,1.故函数的零点是-3,1.②由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),所以方程x4-1=0的实数根是-1,1.故函数的零点是-1,1.【答案】 (1)B (2)①-3,1 ②-1,1求函数的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点.[再练一题]1.函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g5、(x)=bx2-ax的零点是________.【导学号:60210059】【解析】 ∵函数f(x)=ax+b有一个零点是2,∴2a+b=0,即b=-2a,∴g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1),∵-ax(2x+1)=0,即x=0,x=-,∴函数g(x)=bx2-ax的零点是0,-.【答案】 0,-函数零点个数的判断 判断下列函数零点的个数.(1)f(x)=x2-7x+12;(2)f(x)=x2-.【精彩点拨】 (1)中f(x)为一元二次函数,解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数;(2)中函数零点可用解方程法转化为两6、个熟知的基本初等函数求图象交点个数.【自主解答】 (1)由f(x)=0,即x2-7x+12=0,得Δ=49-4×12=1>0,∴方程x2-7x+12=0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点.(2)法一 由x2-=0,得x2=.令h(x)=x2(x≠0),g(x)=.在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,如图所示,两函数图象只有一个交点,故函数f(x)=x2-只有一个零点.法二 令f(x)=0,即x2-=0.∵x≠0,∴x3-1=0.∴(x-1)(x2+x+1)=0.∴x=1或x2+x+1=0.∵方程x2+x+1=0的根的判7、别式Δ=12-4=-3<0,∴方程x2+x+1=0无实数根.∴函数f(x)只有一个零点.确定函数零点个数的方法1.一元n次方程根的个数的问题,一般采用分解因式法来解决.2.一元二次方程通常用判别式来判断根的个数.3.指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题,一般用图象法来解决.4.利用函数的单调性判断函数零点的个数.[再练一题]2.判断函数y=x3-3x2-2x+6的零点个数.【解】 y=x3-3x2-2x+6=x2(x-3)-2(x-3)=(x2-2)(x-3),令y=0,则x=±或x=3,显然有三个零点.[探究共研型]函数零点的应用探究18、 设F(x)=f(x)-g(x),则F(x)的零点与函数y=f(x)与y=g(x)有何关系?【提示】 F(x)的零点是函数y=f(x)与y=g(x)的
3、2有一个二重零点x1=x2没有零点已知函数f(x)=x2-2x+a的图象全部在x轴的上方,则实数a的取值范围是________.【导学号:97512030】【解析】 函数f(x)的图象是开口向上的抛物线,所以Δ=4-4a<0,a>1.【答案】 (1,+∞)[小组合作型]求函数的零点 (1)函数y=1+的零点是( ) A.(-1,0)B.x=-1C.x=1D.x=0(2)求下列函数的零点.①f(x)=-x2-2x+3;②f(x)=x4-1.【精彩点拨】 求函数对应方程的根,即为函数的零点.【自主解答】 (1)令1+=0,解得
4、x=-1,故选B.(2)①由于f(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),所以方程-x2-2x+3=0的两根是-3,1.故函数的零点是-3,1.②由于f(x)=x4-1=(x2+1)(x+1)(x-1),所以方程x4-1=0的实数根是-1,1.故函数的零点是-1,1.【答案】 (1)B (2)①-3,1 ②-1,1求函数的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实数根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点.[再练一题]1.函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g
5、(x)=bx2-ax的零点是________.【导学号:60210059】【解析】 ∵函数f(x)=ax+b有一个零点是2,∴2a+b=0,即b=-2a,∴g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1),∵-ax(2x+1)=0,即x=0,x=-,∴函数g(x)=bx2-ax的零点是0,-.【答案】 0,-函数零点个数的判断 判断下列函数零点的个数.(1)f(x)=x2-7x+12;(2)f(x)=x2-.【精彩点拨】 (1)中f(x)为一元二次函数,解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数;(2)中函数零点可用解方程法转化为两
6、个熟知的基本初等函数求图象交点个数.【自主解答】 (1)由f(x)=0,即x2-7x+12=0,得Δ=49-4×12=1>0,∴方程x2-7x+12=0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点.(2)法一 由x2-=0,得x2=.令h(x)=x2(x≠0),g(x)=.在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,如图所示,两函数图象只有一个交点,故函数f(x)=x2-只有一个零点.法二 令f(x)=0,即x2-=0.∵x≠0,∴x3-1=0.∴(x-1)(x2+x+1)=0.∴x=1或x2+x+1=0.∵方程x2+x+1=0的根的判
7、别式Δ=12-4=-3<0,∴方程x2+x+1=0无实数根.∴函数f(x)只有一个零点.确定函数零点个数的方法1.一元n次方程根的个数的问题,一般采用分解因式法来解决.2.一元二次方程通常用判别式来判断根的个数.3.指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题,一般用图象法来解决.4.利用函数的单调性判断函数零点的个数.[再练一题]2.判断函数y=x3-3x2-2x+6的零点个数.【解】 y=x3-3x2-2x+6=x2(x-3)-2(x-3)=(x2-2)(x-3),令y=0,则x=±或x=3,显然有三个零点.[探究共研型]函数零点的应用探究1
8、 设F(x)=f(x)-g(x),则F(x)的零点与函数y=f(x)与y=g(x)有何关系?【提示】 F(x)的零点是函数y=f(x)与y=g(x)的
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