2018版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程（一）学案 新人教b版选修2-1

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1、2.2.1　椭圆的标准方程(一)学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一　椭圆的定义思考1　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？思考2　在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？梳理　(1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于__________(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹(或集合)叫做________．这两个定点叫做椭圆的_

4、_______，两焦点间的距离叫做椭圆的________．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M

5、

6、MF1

7、＋

8、MF2

9、＝2a，2a>

10、F1F2

11、}．(3)2a与

12、F1F2

13、的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>

14、F1F2

15、动点的轨迹是椭圆2a＝

16、F1F2

17、动点的轨迹是线段F1F22a<

18、F1F2

19、动点不存在，因此轨迹不存在知识点二　椭圆的标准方程思考1　在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？思考2　若两定点A、B间的距离为6，动点P到两定点的距离之和为10，如何求出点P的轨迹方程？梳理　(1)椭圆标准方程的两种

20、形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上＋＝1(a>b>0)F1(－c，0)，F2______2c焦点在y轴上＋＝1(a>b>0)F1______，F2(0，c)2c(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标．判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方

21、程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0，1)，焦距

22、F1F2

23、＝2.类型一　椭圆的定义解读例1　点P(－3，0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．反思与感悟　椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1　下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1

24、(－1，0)，F2(1，0)，则满足

25、PF1

26、＋

27、PF2

28、＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足

29、PF1

30、＋

31、PF2

32、＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．类型二　求椭圆的标准方程命题角度1　用待定系数法求椭圆的标准方程例2　求焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程．引申探究求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程．　反思与感悟　(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设

33、椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．(2)与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ)，与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，b2>－λ)．跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3，2)，(5，1)；(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)．命题角度2　用定义法求椭圆的标准方程例3　已知一动圆M与圆C1

34、：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．反思与感悟　用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值．跟踪训练3　已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．类型三　椭圆中焦点三角形问题例4　(1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积；(2)

35、已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若

36、PF1

37、＝4，求∠F1PF2的大小．反思与感悟　在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之