2018版高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式导学案 新人教a版必修4

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1、3.1.1　两角差的余弦公式学习目标　1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.知识点一　两角差的余弦公式的探究思考1　如何用角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α－β)呢？有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，你认为正确吗，试举出两例加以说明.答案　不正确.例如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝，而cosα－cosβ＝cos－cos＝－，故cos(α－β)≠cosα－cosβ；再如：当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos＝，而cosα－cosβ＝cos－co

2、s＝，故cos(α－β)≠cosα－cosβ.思考2　计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝________；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝________；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝________；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝________.猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝________，即____________________________________________.答案　①1　②　③0　

3、④cos(α－β)　cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ知识点二　两角差的余弦公式思考1　单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？答案　A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ).与的夹角是α－β.思考2　请根据上述条件推导两角差的余弦公式.答案　①·＝

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7、cos(α－β)＝cos(α－β)，②·＝cosαcosβ＋sinαsinβ.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.梳理　C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.(

8、2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反.类型一　利用两角差的余弦公式化简求值例1　计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.解　(1)方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝.方法二　原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.反思与感悟　利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊

9、角转化为特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.跟踪训练1　求下列各式的值：(1)cos105°；(2)cos46°cos16°＋sin46°sin16°.解　(1)原式＝cos(150°－45°)＝cos150°cos45°＋sin150°sin45°＝－×＋×＝.(2)原式＝cos(46°－16°)＝cos30°＝.类型二　给值求值例2　已知α，β均为锐角，sinα＝，cos(α－β)＝，求cosβ的值.解　因为α∈，sinα＝<，所以0<α<.又因为α－β∈，cos(α－β)＝<，所以－<α－β<

10、－.所以cosα＝＝＝，sin(α－β)＝－＝－＝－，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝.反思与感悟　三角恒等变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等.跟踪训练2　已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cosβ的值.解　∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π).又∵cosα＝，cos(α＋β)＝－，

11、∴sinα＝＝，sin(α＋β)＝＝.又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.类型三　给值求角例3　已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值.解　由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝.由0<β<α<，得0<α－β<.又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)