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《2017-2018学年高中数学 第一章 计数原理能力深化提升 新人教a版选修2-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章计数原理能力深化提升类型一 两个计数原理【典例1】(1)从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列共有 ( )A.3个 B.4个 C.6个 D.8个(2)如图所示,要用4种颜色给四川、青海、西藏、云南四省(区)的地图染色,每一省(区)一种颜色,只要求相邻的省(区)不同色,则不同染色的方法有多少种?【解析】(1)选D.以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9,共4个.把这四个数列的顺序颠倒,又得到4个数列,故所求数列共有8个.(2)给四川染色有4种方法
2、,给青海染色有3种方法,给西藏染色有2种方法,给云南染色有2种方法,根据分步乘法计数原理,不同的染色方法共有4×3×2×2=48(种).【方法总结】运用两个计数原理解题时的三个关注点(1)运用分类加法计数原理时,按事件的性质进行分类,每类办法中的任意一种方法都可以独立完成这件事,分类必须满足两个条件:①类与类必须互斥(做到不重);②总类必须完备(保证不漏).(2)分步乘法计数原理在运用时,要确定好次序,并且每一步都是独立,互不干扰的;还要注意元素是否可以重复选取.分步乘法计数原理的特征是按事件发生的连续过程分步,其中,每一个步骤中的任意一种方法只能完成这件事的一部分,几个步骤依次完成
3、,这件事才算完成,分步也必须满足两个条件:①步与步相互独立,互不干扰;②步与步确保连续.(3)对于比较复杂的问题,可同时运用这两个计数原理,借助列表、画图分析的方法来完成.【巩固训练】某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?【解析】从O型血的人中选1人有28种不同的选法,从A型血的人中选1人有7种不同的选法,从B型血的人中选1人有9种不同的选法,从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血,即
4、无论哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情已完成,所以用分类加法计数原理,有N=28+7+9+3=47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人,即要在每种血型的人中依次选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理,有N=28×7×9×3=5292种不同的选法.【补偿训练】已知集合A={a1,a2,a3,a4},集合B={b1,b2},其中ai,bi(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数.(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射?(2)能构成多少个以集合A为定义域,集合B为值域的不同函数?【解析】(1)因为集合A中的元素ai(i=1,2,3
5、,4)与集合B中元素的对应方法都有2种,由分步乘法计数原理,构成A→B的映射有N=2×2×2×2=24=16个.(2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均对应同一元素b1或b2的情形构不成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数,这样的映射有2个,所以构成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数有N=16-2=14个.类型二 排列组合问题【典例2】(1)(2015·上海高考)在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为________.(结果用数值表示)(2)从7名男生和5名女生中,选出5人,分别求符合下列条件的选法数.①A,
6、B必须被选出;②至少有2名女生被选出;③让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.【解析】(1)由题意可分男1,女4,男2,女3和男3,女2三种情况,可以共有++=45+60+15=120.答案:120(2)①除A,B选出外,从其他10人中再选3人,共有选法数为=120(种);②按女生的选取情况分类:选2名女生3名男生;选3名女生2名男生;选4名女生1名男生;选5名女生.所有选法数为+++=596(种);③选出1名男生担任体育委员,再选出1名女生担任文娱委员,剩下的在10人中任选3人担任其他3个职务.由分步乘法计数原理可得到所有选
7、法数为··=25200(种).【方法总结】解排列、组合应用题的解题策略(1)特殊元素优先安排的策略.(2)合理分类和准确分步的策略.(3)排列、组合混合问题先选后排的策略.(4)正难则反、等价转化的策略.(5)相邻问题捆绑处理的策略.(6)不相邻问题插空处理的策略.(7)定序问题除法处理的策略.(8)分排问题直排处理的策略.(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略.(10)构造模型的策略.简单记成:合理分类,准确分步;特殊优先,一般在后;先取后排,间接
