第五章 定积分及其应用.doc

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1、第五章定积分及其应用一、知识剖析1.知识网络本章主要知识点为：一个概念（定积分概念）、一个定理（微积分基本定理）、两种技巧（定积分换元法、定积分分部积分法）、一个方法（微元法）。定积分概念指出求解定积分问题的思路，微元法和牛顿－莱布尼茨公式给出求解定积分问题的具体步骤以及计算方法，而定积分换元法和定积分分部积分法，可以帮助我们更好地去计算定积分。2.知识重点与学习要求：学习要求：2.1理解定积分概念和定积分的几何意义2.2了解变上限函数的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式2.3掌握定积分的换元积分法和分部积分法

2、2.4掌握奇函数和偶函数在对称区间上定积分的求法2.5掌握微元法，能够利用微元法求不规则图形的面积、旋转体的体积2.6掌握广义积分的概念及求法知识重点：定积分计算、微元法（求不规则图形的面积和旋转体的体积）。3.概念理解与方法掌握：3.1定积分的概念（1）概念理解：定积分是高等数学最重要的概念之一，利用定积分可以解决一类问题：计算在某一范围（区间）有可加性且分布不均匀的量。实际中可遇到很多这样的量，因此定积分在实际中有很大用途。说明：“可加性”即可以分割，将所求量分成很多小部分，所有小部分之和即为所求量。

3、如长度、面积、体积、质量、力所做的功等都是具有可加性的量。“分布不均匀”则不能用初等数学的方法解决。如曲边梯形因为“曲边”而导致面积分布不均匀，若为“直边”（平行于对边的直线段）即面积分布均匀成为矩形；变速直线运动因为“变速”而产生路程分布不均匀，若为“匀速”则路程分布均匀。分布均匀可用初等数学方法解决。定积分概念所蕴含的“分割、取近似、求和、取极限”是我们解决问题的基本思路。教材中的“两个实例”充分体现了这一点：第一步：分割（化整为零）将所求量分割为很多小部分，所有小部分之和即为所求量；第二步：取近似（

4、在小范围以不变代变）求每一小部分量的近似值（小曲边梯形面积近似等于小矩形面积，极小时间段内的变速直线运动可以近似地当作匀速直线运动等）；第三步：求和（积零为整）第二步求得的所有近似值之和即为所求量的近似值；第四步：取极限（精确化）第一步的分割越细，第三步的“和”近似程度越高，因此我们将分割越来越细，近似值就越来越接近于精确值（极限思想）。大家在学习时，要领会解决问题的思路和方法，同时注意到两个实例中所求量都是相同的“形式”——和式的极限注：①定积分的本质：积分是微分（微小部分，即分割后所得小部分量的近似值

5、）的无限累积。②定积分的关键点：在小范围用不变代变求近似。③定积分可以解决一类相同的问题，例如：计算密度不均匀的细棒（只计长度）的质量；充电的过程即电量累积的过程，若利用交流电充电，其电流强度不均匀，计算在给定时间段所充的电量。当然，定积分概念只提供思路，求解实际问题需用微元法，进一步计算定积分则要应用牛顿－莱布尼茨公式。（2）定积分的性质注：计算定积分过程中，可依据问题实际，灵活运用“定积分上下限互换”和“拆分积分区间”等方法。（3）定积分的几何意义理解、掌握定积分的几何意义对于利用定积分解决问题有很大

6、帮助。在几何上表示由曲线，直线、，以及轴所围成的封闭平面图形面积的代数和。要学会用定积分表示封闭的平面图形的面积。反之，给出定积分表达式，学会诠释它的几何意义。有时，利用被积函数的几何意义求定积分的值，比用定积分的计算方法更简单有效。3.2微积分基本公式（1）积分上限函数：若函数在区间上连续，那么在上每取一点，则在上也是连续的，因此定积分存在，因为定积分与积分变量的记法无关，为了使上限与积分变量便于区分，改变积分变量的符号，上述积分记为，即内每取一个，就有一个定积分值与它惟一对应，因此构成一个新函数，记为

7、称为变上限函数，即。（2）积分上限函数求导推论：①；②注：这部分内容专接本必考，其它学生了解。（3）牛顿－莱布尼茨公式关键：求出的不定积分，即，得到原函数。3.3定积分的换元法（1）定积分的换元法：其中，关键：积分变量如果改变，那么积分上下限要相应改变，即，。定积分的换元法：换元要换限，换限要对应，“凑微”不换元，换元不还原。(2)利用函数的奇偶性计算定积分注：特别是计算对称区间（积分上下限互为相反数）上的定积分时，留意被积函数的奇偶性是必要的。3.4定积分的分部积分法关键：函数和函数的选择，请参照不定积

8、分的分部积分法。3.5无限区间上的广义积分无限区间的广义积分可以理解为有限区间上定积分的推广，无限区间有三种情形：，其计算方法按照“求闭区间上的定积分的极限”计算。上的广义积分：定义式：如果极限存在，称广义积分收敛，若极限不存在，称广义积分发散。也可以按照以下方法计算类似可得上的广义积分的计算方法。3.6定积分的应用举例（用微元法求面积、体积，计算平均值）(1)微元法①确定积分变量（或），积分区间（或）②找出微元（或）③写出并