高考数学立体几何试题目选讲_1

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一、考察线面之间的位置关系及其相关公理和判定定理1（2010浙江理数）（6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（A）若，，则（B）若，，则（C）若，，则（D）若，，则解析：选B，可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察，属中档题（2010山东文理数）(3)在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。3（2010湖北文数）4.用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：①若∥，∥，则∥；②若⊥，⊥，则⊥；③若∥，∥，则∥；④若⊥，⊥，则∥.A.①②B.②③C.①④D.③④4.(2009年广东卷文)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；.④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【答案】D【解析】①错,②正确,③错,④正确.故选D 5.（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的基本元素关系．【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．.6.(2009山东卷理)已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件.答案:B.【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.7（2010陕西文数）18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.解(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.∴S△ABC=AB·BC=××2=,∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.8（2010辽宁文数）（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱的侧面是菱形，（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）设是上的点，且平面，求的值.解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以又已知所又平面A1BC1，又平面AB1C，所以平面平面A1BC1.（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.即A1D：DC1=1.二、考察多面体的棱长、面积、体积的有关计算1（2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1（B）（C）2（D）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察函数的最值问题.【解析】设底面边长为a，则高所以体积，设，则，当y取最值时， ，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.2（2010上海文数）6.已知四棱椎的底面是边长为6的正方形，侧棱底面，且，则该四棱椎的体积是96。解析：考查棱锥体积公式3（2010辽宁理数）(12)(12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是(A)（0,）(B)（1,）(C)(,）(D)（0,）【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有<2+，即，即有a<(2)构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;综上分析可知a∈（0,）三、考察多面体中有关距离和角（异面直线所成角、线面角、二面角）的计算1（2010全国卷2文数）（8）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（A）(B)(C)(D) 【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。ABCSEF过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴，AS=3，∴SE=，AF=，∴2（2010江西理数）10.过正方体的顶点A作直线L，使L与棱,,所成的角都相等，这样的直线L可以作A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】D【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。3（2010全国卷1文数）（9）正方体-中，与平面所成角的余弦值为（A）（B）（C）（D）ABCDA1B1C1D1O【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面AC的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB1//DD1,所以B与平面AC所成角和DD1与平面AC所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以. 【解析2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，4（2010全国卷1文数）(6)直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，5（2010四川理数）（15）如图，二面角的大小是60°，线段.，与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是.解析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线.垂足为D连结AD，有三垂线定理可知AD⊥l，CD故∠ADC为二面角的平面角，为60°又由已知，∠ABD＝30°连结CB，则∠ABC为与平面所成的角w_w_w.k*s5*u.co*m设AD＝2，则AC＝，CD＝1AB＝＝4∴sin∠ABC＝答案：6.（2009浙江卷理）在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是() A．B．C．D．.答案：C【解析】取BC的中点E，则面，，因此与平面所成角即为，设，则，，即有．7.（2009全国卷Ⅰ理）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（D）（A）（B）（C）(D)解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D8（2010天津文数）（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分12分.(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE= =3,故cos==.所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM=.由NG//FA,FAGM,得NGGM.在Rt△NGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值为.四、考察有关三视图的计算1（2010陕西文数）8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是[B]（A）2（B）1（C）（D）解析：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为2（2010安徽文数）（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A）372（B）360（C）292（D）2809.B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。 .【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。3（2010浙江文数）（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（A）cm3（B）cm3（C）cm3（D）cm3解析：选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题4（2010广东理数）6.如图1，△ABC为三角形，// // , ⊥平面ABC 且3===AB,则多面体△ABC-的正视图（也称主视图）是6．D．5（2010辽宁理数）（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.【答案】【命题立意】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，所以最长棱长为 五、考察多面体的外接球与内切球的有关计算1（2010辽宁文数）（11）已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（A）4（B）3（C）2（D）解析：选A.由已知，球的直径为，表面积为2（2010全国卷1文数）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)(B)(C)(D)【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故六、考察长方体及长方体一角模型的有关计算和位置关系的判断1（2010重庆文数）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A）只有1个（B）恰有3个（C）恰有4个（D）有无穷多个解析：放在正方体中研究,显然，线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，所以排除A、B、C，选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等