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1、略谈二次函数在高中阶段的应用(简阳市贾家中学简阳641400)木人从事过初中数学教学二十多年，二次函数在初中教材中作了较详细的研究，但是由于初中学牛对函数的理解不够深，加上基础薄弱，还受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是肤浅的、机械的，很难从木质上加以理解。进入高中以后，要对函数的基木概念和基木性质(图象以及单调性、奇偶性、值域)灵活应用，尤其是高三复习阶段，应用尤为突出，因此，对二次函数还需再深入学习。在我从事高中数学教学十几年里，不断摸索、探究，总结出以下点滴小结，与大家共享。一、加强引导学生对理解函数概念初中阶段己经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上，重新学习函数概念，
2、主要是用集合间的对应关系来阐明函数，这时就可以用学牛已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的对应?:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素x对应，记为?(x)二ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学牛掌握函数值的记号后，可以让学牛进一步处理如下问题：例1.已知？(x)二2x2+x+2,求?(x+l)这里不能把?(x+l)理解为x=x+l时的函数值，只能理解为自
3、变量为x+1的函数值。例2.设?(x+l)=x2—4X+1,求？(x)这个问题理解为，已知对应法则？下，定义域中的元素x+1的象是X2-4X+1,求定义域中元素X的象，其木质是求对应法则。一般有两种方法：(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。?(x+l)=x2-4x+l=(x+l)2-6(x+l)+6,再用x代x+1得?(x)=x2-6x+6⑵变量代换：它的适应性强，对--般函数都可适用。令t=x+l,则x=t-l∴?(t)=(t-l)2-4(t-l)+l=t2-6t+6从而？(x)二x2-6x+6二、二次函数的单调性，最值与图象。在高中阶阶段学习单调性吋，必须让学生对二次函
4、数y=ax2+bx+c在区间(―∞,一］及［一，+∞)上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。例3•画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。(1)y=x2+2
5、x-l
6、-l(2)y=
7、x2-l
8、(3)=x2+2
9、x
10、-l这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画岀其图象。例4.(1)已知函数f(x)=—x2+2ax+l—a在x∈［O,l］时有最大值2,求
11、a的值.解：函数f(x)=—x2+2ax+l—a=—(X—a)2+a2—a+1,对称轴方程为x=a・①当a<O时，f(x)max=f(O)=l—a,∴l—a=2,∴a=—1.②当0≤a&寸，f(x)max=a2—a+1,∴a2—a+l=2,∴a2—a—1=0,∴a=(舍)・③当a>l时,f(x)max=f(l)=a,∴a=2.综上可知，a=—1或a=2.(1)设?(x)=x2-2x-l在区间［t7t+l］上的最小值是g(t)o求：g(t)并画出y=g(t)的图象解：?(x)=x2-2x-l=
12、(x-1)2-2,在x=l取最小值一2当1∈［t,t+l］即0≤t≤l,g(t)=—2当t>l时，g(t)=?(t)=t2-2t-l当t<0时,g(t)=?(t+l)=t2-2t2—乙(t<O)g(t)=-2,(0≤t≤l)t2-2t-l,(t>；l)首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如y=3x2-5x+6(-3≤x≤-l),求该函数的值域。三、与二次函数有关的恒成立问题与二次函
13、数有关的不等式恒成立两个条件ax2+bx+c>O,a≠O恒成立的充要条件是(2)ax2+bx+c<0,a≠O恒成立的充要条件是例5•⑴若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围为・解析：函数f(x)的定义域为R,所以2x2+2ax—a—l≥O对x∈R恒成立，即2x2+2ax—a≥l>x2+2ax—a≥O恒成立，因此有Δ=(2a)2+4a≤
