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时间:2018-05-05
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1、关于二次函数在高中阶段的应用小编又与大家见面了,今天为大家带来的内容是二次函数在高中阶段的应用,希望可以帮你们解决问题!在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图像以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。一、进一步深入理解函数概念初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为
2、例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为ƒ(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:类型I:已知ƒ(x)=2x2+x+2,求ƒ(x+1)这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。类型Ⅱ:
3、设ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x)这个问题理解为,已知对应法则ƒ下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。一般有两种方法:(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。ƒ(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6(2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。令t=x+1,则x=t-1∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而ƒ(x)=x2-6x+6二、二次函数的单调性,最值与图像。在高
4、中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-b2a]及[-b2a,+∞)上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图像的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性。类型Ⅲ:画出下列函数的图像,并通过图像研究其单调性。(1)y=x2+2
5、x-1
6、-1(2)y=
7、x2-1
8、(3)=x2+2
9、x
10、-1这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图像。类型Ⅳ设ƒ(x)=x2
11、-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。求:g(t)并画出y=g(t)的图像解:ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2当t>1时,g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1当t<0时,g(t)=ƒ(t+1)=t2-2t2-2,(t<0)g(t)=-2,(0≤t≤1)t2-2t-1,(t>1)首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况
12、也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域。三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维:类型Ⅴ:设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的两个根x1,x2满足0(Ⅰ)当X∈(0,x1)时,证明X<ƒ(x)(Ⅱ)设函数ƒ(x)的图像关于直线x=x0对称,证明x0<x2。解题思路:本题要证明的是x<ƒ(x),ƒ(x)(Ⅰ)先证明x<ƒ(x),令ƒ(x
13、)=ƒ(x)-x,因为x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根,ƒ(x)=ax2+bx+c,所以能ƒ(x)=a(x-x1)(x-x2)因为00,又a>0,因此ƒ(x)>0,即ƒ(x)-x>0.至此,证得x<ƒ(x)根据韦达定理,有x1x2=ca∵0ƒ(0),所以当x∈(0,x1)时ƒ(x)<ƒ(x1)=x1,即x<&
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