剖析二次函数在高中阶段的应用

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1、一元二次函数在高中阶段的应用信宜市华侨中学黄美英【摘要】二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幕函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学索质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。【关键词】高中数学二次函数概念图像与性质应用【正文】二次函数是初屮教材就已经出现的一个知识点，进入高屮阶段,尤其是高三复习阶段，我们要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用，对二次函数还需再深

2、入的探讨和学习。一、二次函数的概念在初屮，我们已经学习了二次函数的定义：一般地，我们把形如y=ax2+c(其中a,b,c是常数，3工0)的函数叫做二次函数。然而，进入高中Z后，我们在学习了集合、函数以及映射的概念基础上，可以将二次函数阐述为：二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射使得集合B中的元素y二ax'+bx+c(qHO)与集合A的元素X对应，记为/(x)=ax2+bx+c(aHO)这里ax2+bx+c表示对应法则，乂表示定义域中的元素X在值域中的象。这样我们既加深了对二次函数的理解，乂可以增强学生对函数符号的认识，从而解决以下问题

3、：1、已知/(x)=2x?+x+2,求f(x+1)这里不能把/(x+1)理解为x二x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。2、设/(x+l)=x2—4x+l,求/(x)这个问题理解为，已知对应法则/下，定义域中的元素x+1的象是4x+l,求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：(1)把所给表达式表示成X+1的多项式。f(x+1)=x2—4x+l=(x+1)2—6(x+1)+6,再用x代x+1得f(x)=x2—6x+6(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t二x+1,则x=t-l:.(t)=(t-l)2—4(t-

4、l)+l=t2—6t+6从而/(x)=x2—6x+6二、二次函数的性质为了更好掌握二次函数的性质，我们需要首先了解几个二次函数的重要特征：(1)开口方向；(2)对称轴；(3)与坐标轴的交点；(4)顶点坐标。进而我们对二次函数的性质做一个简单的概括：(1)单调性——由开口方向，对称轴确定(2)对称性——图像关于x=-—对称2a在初步认识了二次函数的概念以及性质的基础上，下面我们来看看它主要有哪些应用1、求最值例如：已知y二3x?—6x+l(-3WxW2),求该函数的值域。解厂・・y=3(兀_1)2_2,・・・对称轴为兀=1,开口方向向上・••当xw［-3,

5、1］,函数单调递减，当xe(1,2］函数单调递减・・・当兀=1,函数有最小值为V=-2丿min•・・/(—3)=46J(2)=l，・・・/(—3)>/(2)・••当兀=-3时，函数有最大值为V=/(-3)=46丿max・•・所求值域为［・2,,46］另外，这个题如果是作为填空题，我们还可以用图像法来解决。这是一道最基础的求值域的题目，为了巩固和熟悉这个知识，我们可以适当补充一些练习：如:(1)求函数f(x)=-2x?+x+3(TWxW3)的值域(2)函数y=x2-mx+4(m>0)在［-3,2］上有最大值为4,求m的值(3)已知t为常数,函数y=

6、x2-

7、2x-tI在区间［0,3］上的最大值为2,求t的值2、函数、方程、不等式Z间的联系例：已知不等式x2+ax+b<0的解集是(1,2),则不等式x2+bx+a<0的解集这是我们在高三复习课屮常见的一个题目，要做好这个题，我们必须在充分理解二次函数、二次方程、二次不等式Z间的联系才行。通过复习，我们不难发现二次函数的零点也就是二次方程对应的根，而对应不等式解集屮的端点值也就是对应方程的根，由此我们很容易求出题目中的两个参数a,b,求出a,bZ后，我们可以利用二次函数图象求解不等式x?+bx+a〈0。(注：求a,b可以用韦达定理或者待定系数法)练习：若不等式a

8、x2+bx+2>0a+b二的解集为YXY*，则3、二次函数在三角函数中的应用例1：求函数y=cos2X-3COSX4-1的最小值35解:4^=cosx,re[-1,吐有y=r一3r+1=((-一)2一一，所以函数在[-1,1]是单调递减函数，所圍心1吋函数y有最小值为-1例2：求函数y=sinxcosx+siiu+cos¥的最小值r(2_]解：设sinx+cosx=t,te[-41.V2]贝ijsinxcosx=，所以y=f(t)=-(t+)2-,te[-V2,V2jw=-le[―血，2】,所以当2—1时，y有最小值为-1练习：求函数y=7-8cos

9、%-2sin2%,xg-—片勺值域.634、二次函数在实际问题屮的应用例：某商店