2018年高考数学第1部分重点强化专题专题4立体几何突破点10立体几何中的向量方法教学案

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1、突破点10　立体几何中的向量方法(对应学生用书第37页)[核心知识提炼]提炼1两条异面直线的夹角(1)两异面直线的夹角θ∈.(2)设直线l1，l2的方向向量为s1，s2，则cosθ＝

2、cos〈s1，s2〉

3、＝.提炼2直线与平面的夹角　(1)直线与平面的夹角θ∈.(2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝

4、cos〈a，n〉

5、＝.提炼3两个平面的夹角　(1)如图101①，AB，CD是二面角αlβ的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．①　　　　②　　　　③图101(2)如图101②③，n1，n2分别是二面

6、角αlβ的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝－cos〈n1，n2〉或cos〈n1，n2〉．[高考真题回访]回访1　空间向量及其运算1．(2015·浙江高考)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，

7、b－(xe1＋ye2)

8、≥

9、b－(x0e1＋y0e2)

10、＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，

11、b

12、＝________.1　2　2　[对于任意x，y∈R，

13、b－(xe1＋ye2)

14、≥

15、b－(x0e1＋y0e2)

16、＝1(x

17、0，y0∈R)，说明当x＝x0，y＝y0时，

18、b－(xe1＋ye2)

19、取得最小值1.15

20、b－(xe1＋ye2)

21、2＝

22、b

23、2＋(xe1＋ye2)2－2b·(xe1＋ye2)＝

24、b

25、2＋x2＋y2＋xy－4x－5y，要使

26、b

27、2＋x2＋y2＋xy－4x－5y取得最小值，需要把x2＋y2＋xy－4x－5y看成关于x的二次函数，即f(x)＝x2＋(y－4)x＋y2－5y，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝2－，所以当x＝2－时，f(x)取得最小值，代入化简得f(x)＝(y－2)2－7，显然当y＝2时，f(x)min＝－7，此时x＝2－

28、＝1，所以x0＝1，y0＝2.此时

29、b

30、2－7＝1，可得

31、b

32、＝2.]回访2　立体几何中的向量方法2．(2016·浙江高考)如图102，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．图102　[如图，作D′F⊥AC于点F，作BE⊥AC于点E，作FM垂直于过点B平行于AC的直线，垂足为M，则∠D′BM是AC与BD′所成的角(或其补角)．在△AD′C中，D′C＝1，AD′＝，∠AD′C＝90°，∴AC＝，D′F＝，CF＝

33、.在△BAC中，BC＝BA＝3，BE＝＝.而AE＝，∴EF＝－－＝.∵MF＝BE＝，∴D′M＝15＝＝.∵BM＝EF＝，∴BD′＝＝.∴cos∠D′BM＝＝≤＝.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.]3．(2016·浙江高考节选)如图103，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.求二面角BADF的平面角的余弦值．图103[解]　法一：如图(1)所示，延长AD，BE，CF相交于一点K，过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.2分(1)因为BF⊥平面ACFD，所以BF⊥A

34、K，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK.4分所以∠BQF是二面角BADF的平面角.6分在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得FQ＝.12分在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝，得cos∠BQF＝.所以二面角BADF的平面角的余弦值为.15分15法二：如图(2)所示，延长AD，BE，CF相交于一点K，取BC的中点O，连接KO，(2)则KO⊥BC.2分又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(1,0,0)，C(－1,0,0)，K(0,0

35、，)，A(－1，－3,0)，E，F.4分因此＝(0,3,0)，＝(1,3，)，＝(2,3,0)．设平面ACFD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABED的法向量为n＝(x2，y2，z2).5分由得6分取m＝(，0，－1)；由9分得取n＝(3，－2，).12分于是cos〈m，n〉＝＝.所以二面角BADF的平面角的余弦值为.15分4．(2015·浙江高考)如图104，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．15图104(1)证明：A1D⊥平面A1

36、BC；(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值．[解]　(1)证明：设E为BC的中点，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.2分因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.