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《高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 第10讲 立体几何中的向量方法教学案 理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第10讲 立体几何中的向量方法题型1 向量法求线面角(对应学生用书第33页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．两条异面直线的夹角(1)两异面直线的夹角θ∈.(2)设直线l1，l2的方向向量为s1，s2，则cosθ＝
2、cos〈s1，s2〉
3、＝.2．直线与平面的夹角(1)直线与平面的夹角θ∈.(2)设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝
4、cos〈a，n〉
5、＝.■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 (2016·全国Ⅲ卷)如图101，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝A
6、C＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．图101(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【导学号：07804072】非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。[解] (1)证明：由已知得AM＝AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面
7、PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，＝(0,2，－4)，＝，＝.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n＝(0,2,1)．于是
8、cos〈n，〉
9、＝＝.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.[类题通法] 向量法求线面角的一般步骤1.建立恰当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标.2.写出相关向量的坐标.3.求平面的法向量.4.求线面角的正弦值.5.转化为几何结论.提醒：直线和平面所成角
10、的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化.■对点即时训练………………………………………………………………………·非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。如图102，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.图102(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．[解] (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
11、∴BD⊥AC.∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥AE.∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.(2)以O为原点，，的方向为x，y轴正方向，过O且平行于CF的直线为z轴(向上为正方向)，建立空间直角坐标系，则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1,0,2)，F(－1,0，a)(a＞0)，＝(－1,0，a)．设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则有，即，令z＝1，则n＝(－2,0,1)，由题意得sin45°＝
12、cos〈，n〉
13、＝＝＝，解得a＝3或－.由a＞0，得a＝3，＝(－1,0,3)，＝(1，－，2)，cos〈，〉＝＝，故异面直线OF与BE所成的角的余弦值为.]非常
14、感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T1)题型2 向量法求二面角(答题模板)(对应学生用书第34页)利用向量法求二面角的大小是高考对立体几何的常规考法，它以代数运算代替抽象的思维，给立体几何带来了鲜活的方法，此类问题建系是突破口，求解的关键是平面的法向量．(2017·全国Ⅰ卷T18,2017·全国Ⅱ卷T19,2017·全国Ⅲ卷T19,2016·全国Ⅰ卷T18,2016·全国Ⅱ卷T19,201
15、4·全国Ⅰ卷T19,2013·全国Ⅱ卷T18)■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题】 (本小题满分12分)(2017·全国Ⅱ卷)如图103，四棱锥PABCD中，侧面①且②，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．图103(1)③(2)点④，且⑤，⑥.【导学号：07804073】[审题指导]题眼挖掘关键信息①看到PAD为等边三角形，想到等边三角形的有关性质.②看
