[研究生入学考试]线性代数

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1、定理1n阶矩阵可逆的充分必要条件是它可以表示为一些初等阵的乘积。证：必要性：由上一节知道，若A可逆，则经过若干次的初等变换可化为I，即存在初等阵P1，…，Ps，Q1，…，Qt使得P1…PsAQ1…Qt=I由于初等阵的逆矩阵仍是初等阵，故A是初等阵乘积。充分性：因初等阵可逆，故它们的乘积也可逆。第三节用初等变换求逆矩阵、矩阵的秩一种求逆矩阵的方法：若A可逆，则A-1也可逆，由上述定理，存在初等阵G1，G2，…Gk使得（1）表明A仅经过行初等变换化为I，（2）表示I经过同样的行初等变换化为A-1。因而（AI）行初等变换（IA-1）一般做法是先将（AI）中的A用行初等转换化为上三角

2、阵，再用行初等变换为单位阵。但也可以用不同的做法。可验证定义1设A是m×n矩阵，从A中任取k行k列（k≤min{m，n}），位于这些行与列相交处的元素，保持原来的相对位置所构成的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。第八节矩阵的秩若A=0，它的任何子式为零。若A≠0，它至少有一个元素不为零，即至少有一个一阶子式不为零。再考察二阶子式，若有不为零的二阶子式，再考察三阶子式。依次类推，可找到非零子式的最高阶数r。一阶子式1≠0三阶子式全为零。故r=2。定义2设A为m×n矩阵。若A中不为零的子式的最高阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为A的秩。记为r（A）

3、=r或rank（A）=r当A=0时，规定r（A）=0显然，r（A）=r（AT）0≤r≤min（m，n）有r（A）=2而B没有三阶子式，故r（B）=2。若r（Amxn）=m，称A为行满秩阵。若r（Amxn）=n，称A为列满秩阵。若r（Anxn）=n，称A为满秩阵。或者是可逆矩阵，也是满秩矩阵。由定义求行、列数较大的矩阵的秩很不方便定理1矩阵经过初等变换后，秩不变。已经知道矩阵经过初等变换可以化为的形式。而r（D）=r。这样，可以利用初等变换求出矩阵的秩。实际上，上面每一步所得的矩阵的秩是相同的，只要能看出秩，就不必做到最后一步！最后的矩阵有3阶子式故r（A）=3任意三阶子式皆为

4、零。故r（A）=2若a=3时，任何3阶子式为0，故r（A）=2。故r（A）=3故a≠3时，A为行满秩阵。例7若A是n阶非奇异阵，B为n×m矩阵。证明：r（AB）=r（B）证：A是非奇异阵，故A可逆即B经过行初等变换可化为AB由定理1知道r（AB）=r（B）。证毕。第四节线性方程组的解则线性方程组可以简化为矩阵形式.Ax=b定义2线性方程组Ax=b中的A与b拼成的矩阵(Ab)称为增广矩阵.增广矩阵(Ab)经过行初等变换,一般可化为其中全为0的行表示多余的方程.若r

5、0的行未写出.这相当于即线性方程组只有唯一解.解共有三种情况:无解、无穷多解、唯一解.dr+1=0时,方程组有解.此时r(Ab)=r(A)=r综合起来,可得到定理1线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(Ab)=r(A).且当r(Ab)=r(A)=n时有唯一解,当r(Ab)=r(A)

6、化简的矩阵写出无穷多解最后一列为等号右边的常数,不变号.从第r+1个未知数开始写任意常数.故方程组无解当a≠1时,方程组无解a=1时方程组有无穷多解前半部分已无法化为单位块例10解线性方程组若改为方程组为则增广矩阵若允许交换两列,可写为x3x2也可换第二,第四列x4x2x3x2称为齐次线性方程组.写成矩阵形式为Ax=0定理2齐次线性方程组Amxnx=0有非零解(无穷多解)的充要条件是r(A)

7、A

8、=0这是第一章用过的结论.又由于m

9、数时,一定有非零解(无穷多解).解:由推论知它必有无穷多解解:系数行列式为故当a≠3且a≠-2时,方程组仅有零解当a=3或a=-2时,方程组有非零解.a=3时a=-2时x3x2