一阶逻辑基本概念

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1、第四章一阶逻辑基本概念引言命题逻辑中：原子命题是命题演算中最基本的单位，不再对原子命题进行分解。缺点：无法研究命题的内部结构；无法表达命题之间的内在联系和数量关系；无法处理一些简单又常见的推理过程。2引言例：苏格拉底论证是正确的，但不能用命题逻辑的推理规则验证结论的有效性。p：所有的人总是要死的。q：苏格拉底是人。r：所以苏格拉底是要死的。(pq)r不是重言式，不能判定pqr。谓词逻辑：对原子命题进行了再分，引入个体词、谓词、量词等概念。34．1一阶逻辑命题符号化个体词和谓词在谓词逻辑中，可将原子命题分解为谓词与个体词两部分。如“苏

2、格拉底”、“张三”是个体词，“…是要死的”是谓词。个体词：命题中所描述的对象。如李明，自然数，计算机，思想等。可以是具体的，也可以是抽象的。5个体词和谓词谓词：用于刻划个体的性质或个体之间关系。例，(1)李明是学生。(2)张亮比陈华高。(3)陈华坐在张亮与李明之间。个体词：李明，张亮，陈华谓词：“…是学生”，“…比…高”，“…坐在…与…之间”。通常，用大写字母表示谓词，小写字母表示个体词。如，上述命题可分别表示为：P(a)Q(b,c)R(c,b,a)a:b:c:P:Q:R:6个体词和谓词一般地，由n个个体词和一个谓词所组成的命题可表示为P(

3、a1,a2,…,an)。注意：a1,a2,…,an的排列次序是重要的。例，a:武汉;b:北京;c:广州P：…位于…和…之间P(a,b,c)：武汉位于北京和广州之间。说明：P(a,b,c)是真，但P(b,a,c)是假，是两个不同的命题。谓词n个个体词7个体词和谓词个体常量：表示具体的或特定的个体。一般用小写字母a,b,c,…表示。个体变量：表示不确定的个体，泛指。常用x,y,z…表示。谓词常量：表示特定的谓词，表示具体的性质和关系。谓词变量：表示不确定的谓词，泛指。8个体词和谓词例．设H表示谓词：“…能够到达山顶。”个体词：w:王红；t:老虎

4、；c:汽车，则H(w)：王红能够到达山顶。H(t)：老虎能够到达山顶。H(c)：汽车能够到达山顶。这里w,t,c均是个体常量，H为谓词常量。H(x)：x能够到达山顶。x是不确定的，是个体变量。9个体词和谓词例．L(x,y,z)表示“x+y=z”，其中x,y,z为个体变量，L为谓词常量。L(3,2,5)表示命题“3+2=5”。L(1,2,4)表示命题“1+2=4”。真假10个体词和谓词例．S(1,2)表示：“1,2具有关系S”。S为谓词变量。若S指定谓词“…大于…”，S(1,2)为命题；若S指定谓词“…小于…”，S(1,2)为命题；假真11个

5、体词和谓词定义：含n(n1)个个体变量的谓词P(x1,x2,…,xn)，称为n元谓词或n元简单命题函数。说明：n元谓词不是命题，只有给谓词变量指定一个常量；为所有个体变量指定具体的个体时，它才表示一个真值确定的命题。如P为常量时，P(a1,a2,…,an)为命题。(P(x,y)L(x,y,z))P(y,x)是一复合命题函数。12个体词和谓词0元谓词：不带个体变量的谓词如F(a),G(a,b),H(a1,a2,…,an)等当F,G,H为谓词常量时，0元谓词是命题例将命题用0元谓词符号化，并讨论真值。“如果5大于4，则4大于6”令G(x,

6、y)：x大于y，a：4，b：5，c：6G(b,a),G(a,c)是两个0元谓词、命题。命题符号化为：G(b,a)G(a,c)，真值为假13个体域个体域：在n元谓词(命题函数)中，个体变量的取值范围称为个体域。例．P(x,y)：表示“2x+y=1”。x,y的个体域为整数集；x和y的取值不同，P(x,y)代表不同的命题。如P(1,1)，真值。P(1,-1)，真值。假真14量词例，对于命题“所有的正整数都是素数(质数)”和“有些正整数是素数”仅用个体词和谓词是很难表达的。使用前面介绍的概念，仍不足以表达日常生活中的各种命题。量词：在命题里表示数

7、量的词。15全称量词定义：把“所有的”，“每一个”，“对任何一个”，“一切”，“任意的”等称为全称量词。符号化为：x：表示个体域中的每一个个体x。例，所有的人都是要死的。令D(x)：x是要死的。个体域：全体人的集合。命题可表示为：xD(x)，是真命题16全称量词例，所有的正整数都是素数。令P(x)：x是素数个体域：正整数集则命题可表示为xP(x)，是假命题17全称量词几种表达式的读法：xP(x)：“对所有的x，x是…”x¬P(x)：“对所有x，x不是…”；¬xP(x)：“并不是对所有的x，x是…”；¬x¬P(x)：“并不是所

8、有的x，x不是…”。18存在量词定义：把“存在着”，“至少有一个”，“存在一些”，“对于一些”，“某个”等称为存在量词。符号化为：x：表示个体域中存在个体x。例，有些正整数是素