从一道几何题谈起

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1、从一道几何题谈起淮安市启明外国语学校数学教研活动材料主讲：钱旭东如图，四边形ABCD是正方形，点E为边BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE=EF．【题目】【解法】M解法1解法2解法3MM【解法】解法4解法5解法6MMM【解法】解法7最后MN【拓展一：E点变化】M【拓展一：E点变化】M【拓展二：正方形变化】M四边形ABCD是矩形（BC>AB），点E为边BC上的点，∠AEF=90°，EF交矩形外角的平分线CF于点F．试问边BC上是否存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的位置；若不存在，请说明理由．【拓展二：正方形变化】M四边形ABCD是矩形（

2、BC>AB），点E为直线BC上的点，∠AEF=90°，EF交矩形外角的平分线所在直线CF于点F．试问直线BC上是否存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的位置；若不存在，请说明理由．【拓展二：正方形变化】四边形ABCD是矩形（BC>AB），点E为直线BC上的点，∠AEF=90°，EF交矩形外角的平分线所在直线CF于点F．试问直线BC上是否存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的位置；若不存在，请说明理由．M【拓展二：正方形变化】M【拓展三：数字化】四边形ABCD是矩形，AB=n，BC=m，且m=tn（t＞1），点E为边BC上的点，∠AEF=90°，EF交矩形外角的平分线CF

3、于点F．试探究点E在边BC的何处时，使得EF=（t+1）AE成立？解：设BE=a，FH=h，则EH=BH－BE=h+m－a．由∠AEF=90，∠EAO=∠FEH，得△ABE∽△EHF，∴EF=（t+1）AE等价于FH=（t+1）BE，即h=（t+1）a，且AB∶EH=BE∶FH，即，整理得nh=ah+am－a2，∴．把h=（t+1）a代入得，即m－a=（t+1）（n－a）．而m=tn，因此tn－a=（t+1）（n－a）．化简得ta=n，解得．∵t＞1，∴＜n＜m，故E在BC边上．∴当E在BC边上且离B点距离为处时满足条件．H