思提高解题能力——从一道考研题谈起

《思提高解题能力——从一道考研题谈起》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、万方数据中国校外教育教学方t法注重解题反思提高解题能力——从一道考研题谈起◆陈建华魏俊潮(扬州大学数学科学学院．江苏扬州)【摘要】本文通过一道考研题的解法思考、知识点回顾和拓展提高，分析了解题后反思对提高线性代数解题能力的作用．探讨了解题后反思什么．【关键词】反思向量矩阵秩硕士研究生入学考试(数学)是以知识为载体、方法为依托、能力为目标来进行考查的，命题时则是以能力为立意、以方法和知识为素材来进行命题设计的．纵观二十多年的考试题目，背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活．在考研复习中，如何尽快提高自己的解题能力呢?做完一道题后学会反思是一种有效的

2、方法．题目设口，卢为3维列向蟹，矩阵，

3、=∞7+朋7，其中口7，，7分别是口，口的转置．证明：(1)秩rf月)≤2：(2)当口，卢线性相关时，则秩，(彳)<2．斛法一(1)秩r(一)=，(∞7+缪7)sr(船7)+r(缪7)≤r(口)+r(卢)s2；(2)当口．，线性相关时，不妨设口=垆，于是，(，

4、)=，f船7+局目7)=r((1+七2山垆7)s，(∥，sj<2．(以上是命题人给出的标准答案)角41法二记』=叩r+朋kk，I；：j=∥届，则(1)矩阵口是2x3的矩阵，，(口)s2，故r(一)≤2：(2)当口，，线性相关时，r(占)El，故r(_)<2．解

5、法i(1)记(多]=曰，则一=占7口，且“=。．删=。同解(在实数范围内，实际上有r(』)=r(占))，丑足2×3的矩阵，故蹦=D有j#零解，从而删=D有非零解，即有r(一Js2：一仃J可以看到解题中运用了以卜．知识：(6)分块籍i阵的乘法运算；(7)设一是矩阵，则r(彳)=r(月7)；(8)三秩相等定理，即钳!阵的秩，行秩和列秋相等(9)设爿是实数矩阵，则rf，

6、)=r(爿7一)；(10)设一是实数矩阵，则删=D．，

7、7从=o同解．复习中必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学结论等数学基本要素上下足工夫．如果不打牢这个基础，其他一切都是空中楼

8、阁．同时，应把学过的知识系统化、综合化，注意细致、透彻、灵活．不过，若就此停留．对题目的理解还不够．思考相关因素添加到问题的构思中来，问题就会变得更加丰富．三、拓展与提高问题与问题之间不是孤立的．许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系，解题不能就题论题，要寻找问题与问题之间的本质的联系．它和哪些问题有联系?能否受这个问题的启发．得到其它结论7对于本题，我们考虑“线性相关”的反面“线性无关”就有问题：1．当口，声线性无关实数向量时，则秩rf』)=2．证明：由解法三，r(一)=r(B)=2．整合向鞋的正交的知识，可以编拟新问题：2．设_=∞7+伊7，其中口．

9、卢为三维单．位列向量，几口7∥=o，则(1)必肓非零列向最刁使得一_=o，(2)一十日似了：对角形矩阵．证明：(1)由口，，为止交的非零向链，故a，声必线性无关．而!：：渊’51<2‘，[；：]=zc，，故[；：]x=一有非零解叩t贝u一、题目与解答’l口7I一‘‘’’”I口’r一”“”7”，，’⋯(以上是笔者在阅卷时看到学生给出的答案)本题不少考生失分较多．考生失分的一个重黑原因就是对基本概念、基本定理．理解不准确，基本解题方法没有掌握．二、知识点回顾面对问题，我们首先是设想它的解的一个轮廓，这个轮廓可能是模糊的．可能就连自己都难以意识到，但它却会出现在

10、我们的行动中．如果能动员可能应用到本题因素。回忆矩阵秩的以下关系式：(1)秩，(爿+口)s，(一)+，(口)：(2)秩r(一矗)≤miIl{r(月)，，(曰)}：(3)设』是m×n疑阵，则r(一层)≤min{Ⅲ。月}：(4)设两向踺口，夕线性卡}j关，则存在常数￡使得口=妒或，=妇；(5)设女是常数，则r(“)s，(爿×々≠o)；那么就进入了6日题，斛题自然会有思路．从学生的不同解答，我月，7=(∞7+筇’)叩=似7刁+缪7玎=口：(2)对于矩阵』及向鞋口．，，有一口=(∞7+局口7归=口(口7口)+，(户7口)=口·l+，·O；口一声=(∞7+伊7妒=口

11、(口7户)+，(声7声)=口·O+户·l=，这样有非零向量口，声，玎使得一口=口，爿卢=，，一叩=口，即矩阵一有三个且线性无关的特征向量，故令，=缸，卢，玎)，则，可逆，且fl＼使得JP一·爿，：lll成立．【oJ这种对数学问题进行推广、引申．不仅可以培养我们的创造性思维，还可以促使我们随时根据变化的条件积极思考，寻找解决问题的方法。从而培养思维的灵活性．上述思考获得新题，既包含矩阵的秩内容，又涵盖矩阵可对角化判定问题(线性代数课程的基本问题之一)．(下转第98页)11／200969万方数据中国校外教育学斟方t法割空间的视觉效果。提取面：捕捉景象中所有形态

12、各异的面。面的视觉效果是占据平面空间，适合表现量感和扩张感，仔细体