2017.12.29一元二次不等式解法

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1、WORD格式可编辑一元二次不等式解法一、知识梳理1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集{x

2、xx2}{x

3、x≠－}{x

4、x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x

5、x10或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x

6、x

7、b}{x

8、x≠a}{x

9、xa}(x－a)·(x－b)<0{x

10、a

11、b0，专业知识整理分享WORD格式可编辑解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)．命题点2　含参不等式例2　解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a<0.解　由x2－(a＋1)x

12、＋a＝0得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x

13、1

14、a1.若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<

15、0得1，解(x－)(x－1)<0得1

16、x<或x>1}；当a＝0时，解集为{x

17、x>1}；当0

18、11时，解集为{x

19、

20、式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．　求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．解　∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－，x2＝.①a＞0时，－＜，解集为；②a＝0时，x2＞0，解集为{x

21、x∈R且x≠0}；③a＜0时，－＞，解集为.综上所述，当a＞0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x

22、x∈R且x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为.题型二　一元二次不等式恒成立问题命题点1　在R上恒成立

23、例3　(1)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)A．(－3,0]B．[－3,0)C．[－3,0]D．(－3,0)(2)设a为常数，∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则a的取值范围是(　　)A．(0,4)B．[0,4)C．(0，＋∞)D．(－∞，4)答案　(1)D　(2)B解析　(1)2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则必有专业知识整理分享WORD格式可编辑解之得－30，则必有或a＝0，∴0≤a<4.命题点2　在给定区间上恒成立例4　设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈

24、[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．解　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，所以m<，所以0

25、m<}．方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，又因为m(x2－x＋1)－6