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1、函数对称中心的求法解析题目函数的图象是中心对称图象,其对称中心为________.一、利用定义求对称中心分析根据中心对称图形的定义,在函数图象上的任意一点关于对称中心的对称点也在函数的图象上.∴,即.∴,代入函数式有:,化简得:,与是同一函数,则对应系数相等,故,∴,,即函数的对称中心为.点评利用中心对称的定义求解是基本方法,考察基本概念,通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心.二、巧取特殊点求对称中心分析在函数的图象上取点、,它们关于对称中心的对称点分别为、也在函数的图象上.∴,相减则,∴或.又若对称中心为,则关于的对称点应在函数图象上,而,∴不是对称中心,故对称中
2、心为.点评这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点,构建关于对称中心坐标的方程,解出对称中心,但要注意由特殊点求出的解是否也满足一般的点,因此还要继续检验,排除增解.三、巧构奇函数求对称中心分析把函数变形为,设函数,∵为奇函数,∴其对称中心为,又将函数的图象按向量平移刚好得到,∴的对称中心是由的对称中心按向量平移得到的,即为.∴的对称中心为.点评这里巧妙地构造奇函数,将原函数看作是由奇函数平移得到的,利用奇函数关于原点对称的性质,这样原函数的对称中心就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的.【2013春考】31.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分,
3、第3小题满分6分。已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”。(1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;(2)求函数图像对称中心的坐标;(3)已知命题:“函数的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明)。解:(1)平移后图像对应的函数解析式为,整理得,由于函数是奇函数,由题设真命题知,函数图像对称
4、中心的坐标是。(2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数。设则,即。由不等式的解集关于原点对称,得。此时。任取,由,得,所以函数图像对称中心的坐标是。(3)此命题是假命题。举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数。修改后的真命题:“函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”。长宁区2013—2014学年第一学期高三教学质量检测数学试卷(文科)22、(本题满分16分,其中(1)小题满分4分,(2)小题满分6分,(3)小题满分6分)已知函数为奇函数.(1)求常数的值;(2)判断函数的单调性,并说明理由;(3)函数的图象由
5、函数的图象先向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到,写出的一个对称中心,若,求的值。22、解:(1)因为函数为奇函数,所以定义域关于原点对称,由,得,所以。…………2分这时满足,函数为奇函数,因此…………4分(2)函数为单调递减函数.法一:用单调性定义证明;法二:利用已有函数的单调性加以说明。在上单调递增,因此单调递增,又在及上单调递减,因此函数在及上单调递减;法三:函数定义域为,说明函数在上单调递减,因为函数为奇函数,因此函数在上也是单调递减,因此函数在及上单调递减。…………10分(3)因为函数为奇函数,因此其图像关于坐标原点(0,0)对称,根据条件得到函数的一个对称中心
6、为,…………13分因此有,因为,因此…………16分
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