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时间:2018-11-20
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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学(1)第一讲集合与映射授课教师:易学军欢迎观看1教学要求.答疑安排2相关竞赛3书籍选购4学科介绍.本学期内容第一章集合与函数本章学习要求:正确理解函数概念,能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念,能正确将复合函数进行分解。会求函数(包括分段函数)的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析,建立函数关系。第一节集合与映射一、集合的基本概念二、集
2、合的基本运算三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域康托尔将集合定义为:所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象(这些对象称为元素)作为一个整体来考虑的结果。1.集合一、集合的基本概念2.集合的表示法列举法:将集合A的所有元素一一列举出来,并用花括号括上。表示集合的方法有两种:注意:不论用那一种方法表示集合,集合中的元素不得重复出现。(唯一,互异,无序)二、集合的基本运算在wen图中,用矩形表示全集。1.集合运算的概念一般说来,ABA×B=,AB迪卡尔集1.实数集与数轴实数集
3、为有理数集与无理数集的并.实数具有稠密性和连续性.aR,必nZ,使na4、a5、定义为:数轴上任意两点a,b之间的距离为d=6、ab7、。3.区间(1)闭区间[a,b]={x8、axb}ab(2)开区间(a,b)={x9、a10、a11、ax12、x13、xa},(a,+)={x14、x>a},(,b]={x15、xb},(,b)={x16、x17、18、xR}a(+)[[a,+)(5)区间长度有限区间的长度=右端点值-左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间,其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+∞U(x0,)={x19、20、xx021、<,xR,>0}x0+()x0x04.邻域Û(x0,)={x22、0<23、xx024、<,xR,>0}x0+()x0x0点的某邻域,记为25、U(x0).点的某去心邻域,记为Û(x0).点x0=3的=0.1邻域为点x0=3的去心=0.1邻域为例1四、映射的基本概念1.映射注意:1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数,可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个xX,只有唯一的一个yY值与之对应关系不一定就是映射。对应,这一点很重要,它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.....设f为集X到集Y的一个映射。如果xX,存在唯一的y=f(x26、)Y与之对应;反过来,若yY,存在唯一的xX使得y=f(x),则称f是X到Y的一一对应。2.一一对应第二、三节函数一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数四、初等函数一、函数的基本概念1.函数的定义2.函数的表示法解析法表格法图示法自己看书!3.求函数定义域举例数学分析的主要研究对象是函数,确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据:分式的分母不能为零;负数不能开偶次方;已知的一些函数的定义域;物理意义;几何意义等来确定函数的定义域。例1例2求的定义域。将x表示为:函数y27、=[x]=“整数”称为取整函数,它是一个分段函数。例3“整数”+“正的小数”或“零”想想取整函数的图形是什么样子?例4定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同例65.函数的图形称为函数f(x)的图形。在平面上建立直角坐标系Oxy,则xy平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形?例7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德国数学家,他以出色的数学才能,以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果,成为继高斯之后与雅28、可比齐名的德国数学界的核心人物之一。单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质1.单调性在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间I上单调增加,记为。在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间I上单调减少,记为。函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I有关.画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。2.有界性有界性有上界有下界有界设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数A,B,使对一切xI恒有Af(x)B则称函数y=f(x)在区间I上
4、a
5、定义为:数轴上任意两点a,b之间的距离为d=
6、ab
7、。3.区间(1)闭区间[a,b]={x
8、axb}ab(2)开区间(a,b)={x
9、a10、a11、ax12、x13、xa},(a,+)={x14、x>a},(,b]={x15、xb},(,b)={x16、x17、18、xR}a(+)[[a,+)(5)区间长度有限区间的长度=右端点值-左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间,其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+∞U(x0,)={x19、20、xx021、<,xR,>0}x0+()x0x04.邻域Û(x0,)={x22、0<23、xx024、<,xR,>0}x0+()x0x0点的某邻域,记为25、U(x0).点的某去心邻域,记为Û(x0).点x0=3的=0.1邻域为点x0=3的去心=0.1邻域为例1四、映射的基本概念1.映射注意:1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数,可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个xX,只有唯一的一个yY值与之对应关系不一定就是映射。对应,这一点很重要,它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.....设f为集X到集Y的一个映射。如果xX,存在唯一的y=f(x26、)Y与之对应;反过来,若yY,存在唯一的xX使得y=f(x),则称f是X到Y的一一对应。2.一一对应第二、三节函数一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数四、初等函数一、函数的基本概念1.函数的定义2.函数的表示法解析法表格法图示法自己看书!3.求函数定义域举例数学分析的主要研究对象是函数,确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据:分式的分母不能为零;负数不能开偶次方;已知的一些函数的定义域;物理意义;几何意义等来确定函数的定义域。例1例2求的定义域。将x表示为:函数y27、=[x]=“整数”称为取整函数,它是一个分段函数。例3“整数”+“正的小数”或“零”想想取整函数的图形是什么样子?例4定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同例65.函数的图形称为函数f(x)的图形。在平面上建立直角坐标系Oxy,则xy平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形?例7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德国数学家,他以出色的数学才能,以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果,成为继高斯之后与雅28、可比齐名的德国数学界的核心人物之一。单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质1.单调性在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间I上单调增加,记为。在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间I上单调减少,记为。函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I有关.画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。2.有界性有界性有上界有下界有界设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数A,B,使对一切xI恒有Af(x)B则称函数y=f(x)在区间I上
10、a11、ax12、x13、xa},(a,+)={x14、x>a},(,b]={x15、xb},(,b)={x16、x17、18、xR}a(+)[[a,+)(5)区间长度有限区间的长度=右端点值-左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间,其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+∞U(x0,)={x19、20、xx021、<,xR,>0}x0+()x0x04.邻域Û(x0,)={x22、0<23、xx024、<,xR,>0}x0+()x0x0点的某邻域,记为25、U(x0).点的某去心邻域,记为Û(x0).点x0=3的=0.1邻域为点x0=3的去心=0.1邻域为例1四、映射的基本概念1.映射注意:1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数,可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个xX,只有唯一的一个yY值与之对应关系不一定就是映射。对应,这一点很重要,它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.....设f为集X到集Y的一个映射。如果xX,存在唯一的y=f(x26、)Y与之对应;反过来,若yY,存在唯一的xX使得y=f(x),则称f是X到Y的一一对应。2.一一对应第二、三节函数一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数四、初等函数一、函数的基本概念1.函数的定义2.函数的表示法解析法表格法图示法自己看书!3.求函数定义域举例数学分析的主要研究对象是函数,确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据:分式的分母不能为零;负数不能开偶次方;已知的一些函数的定义域;物理意义;几何意义等来确定函数的定义域。例1例2求的定义域。将x表示为:函数y27、=[x]=“整数”称为取整函数,它是一个分段函数。例3“整数”+“正的小数”或“零”想想取整函数的图形是什么样子?例4定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同例65.函数的图形称为函数f(x)的图形。在平面上建立直角坐标系Oxy,则xy平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形?例7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德国数学家,他以出色的数学才能,以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果,成为继高斯之后与雅28、可比齐名的德国数学界的核心人物之一。单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质1.单调性在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间I上单调增加,记为。在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间I上单调减少,记为。函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I有关.画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。2.有界性有界性有上界有下界有界设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数A,B,使对一切xI恒有Af(x)B则称函数y=f(x)在区间I上
11、ax
12、x
13、xa},(a,+)={x
14、x>a},(,b]={x
15、xb},(,b)={x
16、x
17、18、xR}a(+)[[a,+)(5)区间长度有限区间的长度=右端点值-左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间,其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+∞U(x0,)={x19、20、xx021、<,xR,>0}x0+()x0x04.邻域Û(x0,)={x22、0<23、xx024、<,xR,>0}x0+()x0x0点的某邻域,记为25、U(x0).点的某去心邻域,记为Û(x0).点x0=3的=0.1邻域为点x0=3的去心=0.1邻域为例1四、映射的基本概念1.映射注意:1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数,可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个xX,只有唯一的一个yY值与之对应关系不一定就是映射。对应,这一点很重要,它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.....设f为集X到集Y的一个映射。如果xX,存在唯一的y=f(x26、)Y与之对应;反过来,若yY,存在唯一的xX使得y=f(x),则称f是X到Y的一一对应。2.一一对应第二、三节函数一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数四、初等函数一、函数的基本概念1.函数的定义2.函数的表示法解析法表格法图示法自己看书!3.求函数定义域举例数学分析的主要研究对象是函数,确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据:分式的分母不能为零;负数不能开偶次方;已知的一些函数的定义域;物理意义;几何意义等来确定函数的定义域。例1例2求的定义域。将x表示为:函数y27、=[x]=“整数”称为取整函数,它是一个分段函数。例3“整数”+“正的小数”或“零”想想取整函数的图形是什么样子?例4定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同例65.函数的图形称为函数f(x)的图形。在平面上建立直角坐标系Oxy,则xy平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形?例7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德国数学家,他以出色的数学才能,以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果,成为继高斯之后与雅28、可比齐名的德国数学界的核心人物之一。单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质1.单调性在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间I上单调增加,记为。在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间I上单调减少,记为。函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I有关.画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。2.有界性有界性有上界有下界有界设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数A,B,使对一切xI恒有Af(x)B则称函数y=f(x)在区间I上
18、xR}a(+)[[a,+)(5)区间长度有限区间的长度=右端点值-左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间,其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+∞U(x0,)={x
19、
20、xx0
21、<,xR,>0}x0+()x0x04.邻域Û(x0,)={x
22、0<
23、xx0
24、<,xR,>0}x0+()x0x0点的某邻域,记为
25、U(x0).点的某去心邻域,记为Û(x0).点x0=3的=0.1邻域为点x0=3的去心=0.1邻域为例1四、映射的基本概念1.映射注意:1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数,可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个xX,只有唯一的一个yY值与之对应关系不一定就是映射。对应,这一点很重要,它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.....设f为集X到集Y的一个映射。如果xX,存在唯一的y=f(x
26、)Y与之对应;反过来,若yY,存在唯一的xX使得y=f(x),则称f是X到Y的一一对应。2.一一对应第二、三节函数一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数四、初等函数一、函数的基本概念1.函数的定义2.函数的表示法解析法表格法图示法自己看书!3.求函数定义域举例数学分析的主要研究对象是函数,确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据:分式的分母不能为零;负数不能开偶次方;已知的一些函数的定义域;物理意义;几何意义等来确定函数的定义域。例1例2求的定义域。将x表示为:函数y
27、=[x]=“整数”称为取整函数,它是一个分段函数。例3“整数”+“正的小数”或“零”想想取整函数的图形是什么样子?例4定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同例65.函数的图形称为函数f(x)的图形。在平面上建立直角坐标系Oxy,则xy平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形?例7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德国数学家,他以出色的数学才能,以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果,成为继高斯之后与雅
28、可比齐名的德国数学界的核心人物之一。单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质1.单调性在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间I上单调增加,记为。在不需要区别上面两种情况时,一般将统称为函数在区间I上单调减少,记为。函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I有关.画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。2.有界性有界性有上界有下界有界设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数A,B,使对一切xI恒有Af(x)B则称函数y=f(x)在区间I上
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