高等数学集合与函数

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（1）第一讲集合与映射授课教师：易学军欢迎观看1教学要求.答疑安排2相关竞赛3书籍选购4学科介绍.本学期内容第一章集合与函数本章学习要求：正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和图形特征。正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复合函数进行分解。会求函数（包括分段函数）的反函数。了解“取整函数”和“符号函数”。能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。第一节集合与映射一、集合的基本概念二、集合的基本运算

2、三、映射的基本概念四、实数、区间、邻域康托尔将集合定义为：所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一个整体来考虑的结果。1.集合一、集合的基本概念2.集合的表示法列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用花括号括上。表示集合的方法有两种:注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得重复出现。（唯一，互异，无序）二、集合的基本运算在wen图中，用矩形表示全集。1.集合运算的概念一般说来,ABA×B=,AB迪卡尔集1.实数集与数轴实数集为有理数集与无理数集的并

3、.实数具有稠密性和连续性.aR，必nZ，使na

4、a

5、定义为：数轴上任意两点a，b之间的距离为d=

6、ab

7、。3.区间(1)闭区间[a,b]={x

8、axb}ab(2)开区间(a,b)={x

9、a

10、a

11、ax

12、xa},(a,+)={x

13、x

14、>a},(,b]={x

15、xb},(,b)={x

16、x

17、

18、xR}a(+)[[a,+)(5)区间长度有限区间的长度=右端点值－左端点值不论是闭区间、开区间、半开闭区间，其长度计算均按此式进行。所有无穷区间的长度=+∞U(x0,)={x

19、

20、xx0

21、<,xR,>0}x0+()x0x04.邻域Û(x0,)={x

22、0<

23、xx0

24、<,xR,>0}x0+()x0x0点的某邻域，记为U(x0).点的某去心邻域，记为Û(x0).点x

25、0=3的=0.1邻域为点x0=3的去心=0.1邻域为例1四、映射的基本概念1.映射注意：1)映射是集合间的一种对应关系.集合X、Y中所含的元素不一定是数，可以是其它的一些对象(或事物)。2)对每一个xX，只有唯一的一个yY值与之对应关系不一定就是映射。对应，这一点很重要，它说明集合间元素的3)映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应。RfXYfy2x1x2x3y1.....设f为集X到集Y的一个映射。如果xX，存在唯一的y=f(x)Y与之对应；反过来,若yY,存在唯一的xX使得y=

26、f(x),则称f是X到Y的一一对应。2.一一对应第二、三节函数一、函数的基本概念二、函数的基本性质三、基本初等函数四、初等函数一、函数的基本概念1.函数的定义2.函数的表示法解析法表格法图示法自己看书！3.求函数定义域举例数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的定义域是一件十分重要的事情。通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几何意义等来确定函数的定义域。例1例2求的定义域。将x表示为:函数y=[x]=“整数”称为取整函数，它是一个分段函数。例3“整数”+“正的小

27、数”或“零”想想取整函数的图形是什么样子？例4定义域与对应规则均相同的两个函数相同。如何判断两个函数是否相同?4.判断函数相同例65.函数的图形称为函数f(x)的图形。在平面上建立直角坐标系Oxy，则xy平面上的点集是否所有的函数均可绘出几何图形？例7狄利克雷函数就不能作出几何图形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国数学界的核心人物之一。单调性有界性奇偶性周期性二、函数的基本性质1.单

28、调性在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调增加,记为。在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间I上单调减少,记为。函数的单调性是一个局部性的性质,它与所讨论的区间I有关.画画图就一目了然.例9我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。2.有界性有界性有上界有下界有界设函数y=f(x)在区间I上有定义。若存在实数A,B,使对一切xI恒有Af(x)B则称函数y=f(x)在区间I上