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1、一道函数试题的析题的解决策略.freel米,球门宽n米,在比赛中攻方球员带球沿边线推进,如图1所示.试问该球员在距守方底线多远处起脚射门,能使命中角度最大?图1足球攻方射门的数学模型问题2国际曲棍球比赛标准场地的长为91.4m,宽为55m.球门宽AB3.66m,如图2所示.射门必须在射门弧(由弧?PQ、线段QR和弧?RL围成)内进行.其中,?PQ是以一侧门柱A为圆心,以14.63m为半径的1/4圆,同样,?RL是以另一侧门柱B为圆心,以14.63m为半径的1/4圆.请问,曲棍球场上哪些点属于射门最佳点,即命中率较高的点?哪些点命
2、中率相同?图3虚拟出的两种物质的溶解度与温度关系的函数图象从化学的角度,我们还可以用勒夏特列原理对上述解答给出解释.该原理指出:如果改变影响平衡的条件之一(如温度、压强以及参加反应的化学物质的浓度),平衡将向着能够减弱这种改变的方向移动.当物质M,N的水溶液处于饱和状态时,可以视为在一定温度下的一种平衡.当温度升高(或降低)时,平衡将向能够减弱这种改变的方向移动,即饱和溶液的饱和程度降低(或升高).因此,物质M的溶解度降低(小于10克),物质N的溶解度升高(大于10克),问题的答案不言而喻是B.化学中的勒夏特列原理与物理学中的楞
3、次定律何其相似.楞次定律指出,闭合电路中感应电流的方向,总是使得它激发的磁场来阻碍引起感应电流的磁通量的变化(简言之,来时拒,去时留).“众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”.上述的原理和定律的数学模型就是图象的平移.大家熟悉三角函数平移的法则:“左加右减,上加下减”.这个法则指出:当改变()yfx=中x,y的值时,图象向着能够减弱这种改变的方向移动.具体地说,对于()yfx=,在x上加上或者减去几个单位,它的图象就沿着x轴向左(减小的方向)或向右(增大的方向)平移几个单位;同理,在y上加上或者减去几个单位,它的图象就
4、沿着y轴向下(减少的方向)或向上(增大的方向)平移几个单位,反之亦然.课标课程十分重视学科间纵横联系,教材编写者的良苦用心,旨在提醒教师要探究数学与其他学科之间千丝万缕的联系,各学科都在用不同的方式言说着同一个大千世界,数学建模是它们之间沟通的桥梁之一.当我们面对现实生活中“只缘身在此山中”的困惑时,数学建模给我们带来“柳暗花明又一村”的顿悟,大有“吹尽黄沙始见金”的发现和“千树万树梨花开”的惊喜.3重在理解,灵活运用用数学建模解决实际问题对学生的阅读理解能力有较高的要求.在精细阅读的基础上,要通过观察、分析、筛选、区分获得的信
5、息,洞察实际问题的结构,准确、恰当地将文字语言向数学语言转化.这种转化过程就是把实际问题描述得具体、直白、但不简约.有些会引出歧义的文字,翻译成指意简明、书写简练、含义深刻的符号语言,或者是表象直观、易于思辨的图形语言.这个过程就是灵活运用数学知识技能、数学思想方法建立可并求解的数学模型的过程.例3通过采购经理指数(简称PMI)可以及时监测和预测经济与商业活动中出现的问题和趋势,使政府对宏观经济有更好的把握.一般而言,PMI在50以上,反映经济总体扩张;接近60时,有经济过热的风险;低于50,反映经济衰退;接lunI数据如下表:
6、试根据以上数据预测当年我们11月份的PMI.分析本题以实际问题为载体,给出新信息情境,意在培养学生的阅读理解能力和知识迁移能力.首先,要引导学生将表格中直观数据的变化规律刻画出来,其基本的数学模型就是函数.其次,结合教材相关内容,回顾建立函数模型解决实际问题的六个基本步骤,用手工描点或借助excel在电脑上画出散点图.再次,引导学生观察和讨论散点图,寻找拟合程度最佳的函数.在备选的对数函数、幂函数、分段函数中,根据散点变化规律和数据增长比较平缓的特点,以对数函数模型为首选.第四,在应用待定系数法确定对数函数表达式时,会随着选取的
7、散点不同而不同.经过甄别,在计算机的帮助下,取3.8ln46.6yx=+来刻画PMI与月份x的函数关系.根据函数模型,可以预测11月份的PMI.在分析经过几个月是否会出现经济过热的现象时,还要借助二分法求解方程近似解的方法.可以看出,在建立实际问题的数学模型的过程中,首先要突破的关键是将描述现实问题的文字语言翻译成数学语言.也不难发现,在问题解决过程中,教材的知识点进一步显性化、结构化、系统化,有利于学生新知识网络的意义建构.例4“今日说法”栏目报道,某公司利用传销手段诈骗投资人,谎称:“每位投资者投资1股460元,买一件商品(
8、价值10元),半年后可得到540元的回报.每一期到期限后若继续投资,投资股数是上一期的2倍.”某退休工人开始投资1股,以后不断地追加投资.但在投资到32股时,被告知该公司破产.试问:(1)假如该退休工人在前一期停止投资,他的投资回报率是多少?(2)传销最终要失败
