《导数及其应用》》word版

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1、《导数及其应用》单元测试一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1．设函数f(x)在处可导，则等于（C）A．B．C．-D．-2．若函数f(x)的导数为f′(x)=-sinx，则函数图像在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（C）A．90°B．0°C．锐角D．钝角3．函数y=x3－3x在[－1，2]上的最小值为（B）A、2B、－2C、0D、－44．设函数的导函数为，且，则等于(B)A、B、C、D、5．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(D)A、－12D、a<－3或a>66、设函数f

2、(x)＝kx3＋3(k－1)x2＋1在区间（0，4）上是减函数，则的取值范围是（D）A、B、C、D、7、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f¢(x)可能为（D）xyOxyOAxyOBxyOCxyOD8、对于R上可导的任意函数f（x），且若满足（x－1）>0，则必有（C）A、f（0）＋f（2）<2f（1）B、f（0）＋f（2）³2f（1）C、f（0）＋f（2）>2f（1）D、f（0）＋f（2）³2f（1）9、已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为(C)Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10、f()是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所

3、示：令g（）=af（）+b，则下列关于函数g（）的叙述正确的是（B）A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.B．若a=－1，－2

4、15.已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当△PAB面积最大时，P点坐标为P(4,－4).三、解答题（共6小题，，共75分）17.（本题满分12分）已知函数是上的可导函数，若在时恒成立.（1）求证：函数在上是增函数；（2）求证：当时，有.17.（1）由得因为，所以在时恒成立，所以函数在上是增函数.（2）由（1）知函数在上是增函数，所以当时，有成立，从而两式相加得18.（本题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.18.解析：的定义域为，…………1分的导数.………………3分令，解

5、得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.………………5分所以，当时，取得最小值.…………………………6分（Ⅱ）解法一：令，则，……………………8分①若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即.……………………10分②若，方程的根为，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以时，，即，与题设相矛盾.……………………13分综上，满足条件的的取值范围是.……………………………………14分解法二：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立.……………………8分令，则.……………………10分当时，因为，故是上的增函数，所以的最小值是，………………13分所以的取值范围是.……………………………

6、……………14分www.ks5u.com20.（本题满分13分）已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有

7、f(x1)－f(x2)

8、≤4；（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.20.解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，即解得a=1，b=0.∴f(x)=x3－3x.（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，当－1

9、)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2……………………………………6分∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有

10、f(x1)－f(x2)

11、≤

12、fmax(x)－fmin(x)

13、

14、f(x1)－f(x2)

15、≤

16、fmax(x)－fmin(x)

17、=2－(－2)=4………………………………8分（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.设切点为M（