《导数应用论》word版

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1、导数的应用目录[摘要]2一.引言2二．导数的概念2三．导数的求法31．显函数导数31．1导数的四则运算：31．2复合函数与反函数求导法则31．3基本初等函数求导公式32．隐函数导数43．由参数方程所确定的函数求导法44．分段函数的导数4四．导数的性质4五．导数的应用51．导数在函数中的应用51．1利用导数判断函数的单调性61．2利用导数判断函数凹凸性及拐点71．3利用导数求函数的极值和最值81．4利用导数知识描绘函数图形131．5利用导数求参数问题152．导数在曲线中的应用163．利用导数研究方程的根174．应用导数证明不等式

2、175．导数在数列中的应用186．利用导数求极限——洛必达法则196．1“”型和“”型196．2其他形式207．物理学中的导数208．经济学中的导数应用21结束语：22参考文献：22[摘要]导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的

3、利用[关键字]导数初等数学高等数学应用一.引言导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。　　高考考查导数应用主要有以下三个方面：　　①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，　　②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0,y0）处的切线斜率。③导数在其它数学分支的应用，如在数

4、列、不等式、排列组合等知识的综合等。二．导数的概念1、定义：左导数：右导数：可以证明：可导连续即：可导是连续的充分条件连续是可导的必要条件导函数：2.导数的几何意义（图1）曲线在点处的导数在几何上表示为：曲线在点A处切线的斜率。即（是过A点的切线的倾斜角）（如图1）则，曲线在点A处切线方程为：三．导数的求法1．显函数导数1．1导数的四则运算：1．2复合函数与反函数求导法则复合函数求导法则（反函数求导法则）1．3基本初等函数求导公式；；；；；；；；；；；。2．隐函数导数如方程，能确定，只需对方程两边对求导即可。注意3．由参数方程

5、所确定的函数求导法参数方程，则：为的复合函数，，所以：4．分段函数的导数对分段函数求导时，在分段点处必须用导数定义来求导，而在每段内仍可用初等函数求导法则来求导。分段函数点处极限问题，归纳为该点处在左、右两侧的导数是否一致以及该点处是否连续的问题。四．导数的性质前面介绍了导数的基本知识，现将用导函数自身的定义来探讨与导数之间的联系性质1：若函数是偶函数且可导，则其导函数是奇函数。证明：由是偶函数，有则：所以，是奇函数同理：若函数是奇函数且可导，则其导函数是偶函数。性质2：若函数是周期函数且可导，则其导函数也是周期函数。证明：是

6、周期，有所以，是周期函数性质3：若函数可导且图象关于直线对称，则其导函数图象关于点对称证明：函数图象关于对称，有且点在的图象上，所以图象关于点对称同理：若函数可导且图象关于点对称，则其导函数图象关于直线对称五．导数的应用1．导数在函数中的应用导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题1．1利用导数判断函数的单调性一个函数在某个区间内的单调增减性的变

7、化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题。在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义。下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间从图形直观分析：若在内，曲线上每一点的导数都大于0，即，利用导数的几何意义知，在内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数是单调递增的（如图2）。反之，若在内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的切线斜率都为负），这时曲线是下降的，即函数是单调递减的（如图3）对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于轴（此点的导数值为0，即）。因此，函数的增减性反映在导

8、数上，有如下定理：定理1：设函数在区间内可导，则：①若时恒有，则在单调增加；②若时恒有，则在单调减少。例1：求函数单调递增区间解：因，由得所以，单调递增区间为例2：已知函数，试讨论函数单调性。分析：引进导数这一工具之前，判断函数单调性的一般方法是定义法。此题利用定义法就无法的