由参数方程所确定的函数的导数(精)

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1、二、由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数§2.4隐函数和参数方程求导三、相关变化率一、隐函数的导数显函数与隐函数形如yf(x)的函数称为显函数例如ysinxylnxex都是显函数由方程F(xy)0所确的函数称为隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化例如方程xy310确定的隐函数为隐函数的求导法把方程两边分别对x求导数然后从所得的新的方程中把隐函数的导数解出.例1求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数(ey)(xy)(e)(0)即eyyy+

2、xy0方程中每一项对x求导得解例2求由方程y52yx3x70所确定的隐函数yf(x)在x0处的导数y

3、x0因为当x0时从原方程得y0所以5y4y2y121x60方程两边分别对x求导数得解例3.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即解上式两边再对x求导得的二阶导数例4方程两边对x求导得yf(x)[lnf(x)]对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数此方法是先在yf(x)的两边取对数然后用隐函

4、数求导法求出y的导数设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)两边对x求导得对数求导法例5求yxsinx(x>0)的导数解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求.解法一上式两边对x求导得两边取对数得lnysinxlnxyxsinxesinx·lnx上式两边对x求导得说明严格来说本题应分x4x12x3三种情况讨论但结果都是一样的例6先在两边取对数得解设xj(t)具有反函数tj-1(x)且tj-1(x)与yy(t)构成复合函数yy[j-1(x)]若x

5、j(t)和yy(t)都可导则二、由参数方程所确定的函数的导数设y与x的函数关系是由参数方程îíì==)()(tytxyj确定的.解例7.求椭圆îíì==tbytaxsincos在相应于4p=t点处的切线方程.所求切线的斜率为abdxdyt-==4p.再求速度的方向设a是切线的倾角则轨道的切线方向为于是抛射体在时刻t的运动速度的大小为x(t)=v1y(t)=v2-gt求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向例8抛射体运动轨迹的参数方程为速度的水平分量与铅直分量分别为先求速度的大小解讨论:已知xj(t)

6、,yy(t)如何求y对x的二阶导数y?例9.设求例10.设,且求解:解:的函数yf(x)的二阶导数解(t2npn为整数)例11．计算由摆线的参数方程îíì-=-=)cos1()sin(tayttax所确定三、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例12.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升t分后其高度为h,仰角

7、为,则两边对t求导已知h=500m时,作业：p-111习题2-41(1),(4);2;3(3),(4);4(2),(4);5(2);7(2);8(2),(4);9(2);10;12