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时间:2018-11-15
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1、巧用平方差公式 在与学生共同学习的过程中发现,平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2不仅在学习整式的乘法时用,而且在以后的学习中也可用来巧解题目. 利用平方差公式解决问题时,首先要掌握公式的结构特点. 平方差公式: 左边:两个二项式的积,在这两个二项式中有一项(如a)完全相同,另一项(如b)互为相反; 右边:完全相同项的平方减去符号相反项的平方. 一、掌握平方差公式的结构特点,你就能轻松应对这几种基础变形 ①位置变化 例1计算(-2x+3)(3+2x) 分析:两个因式中完全相同的项是3,互为相反的项是
2、2x,所以可以使用平方差公式. 解:(-2x+3)(3+2x)=(3)2-(2x)2=9-4x2. ②符号变化 例2计算(-4x-3y)(4x-3y). 分析:两个因式中完全相同的项是-3y,互为相反的项是4x,所以可以使用平方差公式. 解:(-4x-3y)(4x-3y)=(-3y)2-(4x)2=9y2-16x2. ③系数变化4 例3计算(3x+9y)(x-3y). 分析:观察式子的特点,将(3x+9y)的提取系数3后,得3(x+3y),可以利用平方差公式进行计算. 解:(3x+9y)(x-3y)=3(
3、x+3y)(x-3y)=3(x2-9y2)=3x2-27y2. ④指数变化 例4计算(a5-b2)(a5+b2) 分析:两个因式中完全相同的项是a5,互为相反的项是b2,所以可以使用平方差公式. 解:(a5-b2)(a5+b2)=(a5)2-(b2)2=a10-b4 如果再用你的慧眼,仔细观察,你会发现平方差公式还可以巧解难题. 二、巧妙分组 例5计算(a-b+c-d)(a+b-c-d). 分析:两个因式中的a、d前边的符号分别相同,而b、c前边的符号相反,所以可进行适当的分组,使之使用平方差公式解决.
4、解:(a-b+c-d)(a+b-c-d) =[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)] =(a-d)2-(b-c)2 =a2+d2-b2-c2-2ad+2cb. 三、巧添因式 例6计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) 分析:此题感觉用平方差公式,却无处下手,好像缺点什么,就缺个差(2-1),把它作为因式添上,就能使用平方差公式解决.4 解:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+
5、1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1) =(28-1)(28+1)(216+1) =(216-1)(216+1) =232-1 四、巧改顺序 例7计算(2a+b)2(2a-b)2 分析:按照运算顺序,先算乘方再算乘法;如果利用积的乘方,可使用平方差公式. 解:(2a+b)2(2a-b)2 =[(2a+b)(2a-b)]2 =[4a2-b2]2 =16a4-8a2b2+b4 五、巧妙逆用 例8已知x-y=2x2-
6、y2=4,求代数式x2+y2的值 解:∵x2-y2=(x-y)(x+y)且x-y=2x2-y2=4 ∴x+y=(x2-y2)÷(x-y)==2 由x-y=2 x+y=2 得x=24 y=0 ∴x2+y2=4 六、分母有理化 例9化简 分析:要将分母化为有理数,必须出现()2、()2,并且没有第三项.符合这种要求的就是平方差公式. 解: = = = =+ 当然,只要我们有心,在以后的教与学过程中还会有很多新颖的发现.让我们互相交流,共同提高水平.4
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