1-1,2 函数与极限

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1、（1646-1716）（1642-1727）前言微积分的创始人被归于Newton（牛顿）与Leibniz（莱布尼茨）微积分的诞生源于十七世纪60年代――80年代，牛顿与莱布尼兹在前人工作的基础上，利用不严密的极限方法建立了微积分学，至今这仍然是世界数学史上最为光辉灿烂的成果之一。下面介绍的微积分的两个基本问题的例子及其解决问题的思路，是微积分学中的两个重要概念――导数与积分的最原始的模型。1）变速直线运动的瞬时速度；2）曲线围成的平面图形的面积。1变速直线运动的速度s(t0+Δt)••{Δss(t0)s当Δt很小时，速度可近似看作匀速，则——连续变化的微小量之比而且Δt越

2、小，精确度越高。现在用上述的方法导出落体的瞬时速度上述求速度的过程也就是所谓求函数的“导数”的过程。ababahah曲边形面积、圆面积如何计算？haha2曲线围成的平面图形的面积用初等数学方法至多只能计算多边形的面积事实上由矩形面积公式可以推出平行四边形面积，接着是三角形面积，最后可以计算多边形面积。例求由曲线y=x2、x轴以及x=1围成的曲边图形面积解把区间[0,1]分成n等分，得分点过各分点作x轴的垂线，把曲边形分割成n个窄曲边形，对每个窄的曲边形，用它的底边为底、它的左直边为高的矩形来近似。第i个矩形面积是把这些窄矩形的面积加起来，得到原曲边梯形的面积的近似值而且当

3、分割越细（即n越大），此和越接近于曲边形的面积，于是当n无限增大时，An所逼近的值（不难看出，此值是1/3）就是该曲边形的面积。上述求曲边图形面积的方法：拆分区间、以直代曲（以矩形代替曲边图形）、无限累加，这种方法带有普遍意义。-----这也就是积分概念的最原始模型。数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例1不含任何元素的集合称为空集.例2规定空集为任何集合的子集.记A=B.一、基础知识2.数域:对加减乘除封闭的数的集合实数集的基本性质：1.实数集是数域2.对加、乘运算满足交换律、结合律、分配律3.实数域是有序数域：两

4、个不同的数有大小关系，并且在加法和乘法运算中保持大小关系4.实数域的完备性（连续性）：实数域中的任何一个单调有界序列一定有极限存在单调递增序列，单调递减序列称为单调序列(集合中的任意两个数做加减乘除运算,结果仍在此集合中)1.有理数集是数域有理数集的性质：2.有理数集对加法和乘法运算满足交换律、结合律、分配律3.有理数集是有序数域3.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.开区间:闭区间:(a,b)=(a,b)=这两个实数叫做区间的端点.半开区间有限区间无限区间4.绝对值:运算性质:由绝对值的定义，易得命题2，3，主要是绝对值不等式不等式解法（命题4）:例3解不等式：

5、X

6、-2

7、＜5设U=X-2解:则

8、U

9、＜5-5＜U＜5即-5＜X-2＜5故-3＜X＜75.邻域:记6.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.二、函数概念例4圆内接正多边形的周长圆内接正n边形Or)因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.对应法则f定义域值域定义域与对应法则.函数的两要素：定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，

10、否则叫与多值函数．x=0时，y=±a是多值函数.(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例10解故基本初等函数1、幂函数2、指数函数3、对数函数4、三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数5、反三角函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.复合函数初等函数1、复合函数

11、定义:注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的函数,称为初等函数.例解综上所述反函数DWDW直接函数与反函数的图形关于直线对称.将x=φ(y)记为y=φ(x)三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:2．函数的单调性:xyoxyo3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x奇函数yxox-x4．函数的周期性:通常说周期函数的周期是指其最小正周期。例12解单值函