竞赛数列问题,一是求出通项公式并利用通项公式的问题,

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1、4竞赛数列问题（陈兆华）竞赛数列问题，一是求出通项公式并利用通项公式的问题，二是不易或不需要求通项公式而巧妙利用性质的问题．一、由递推关系式求通项公式熟练掌握下列一些常见递推关系式求通项公式的问题：（1）an+1=an+f(n)——累加法（2）an+1=f(n)an——累乘法（3）an+1=qan+f(n)——待定分解f(n)法，或先除以qn+1后，转化为（1）．（4）an+2=pan+1+qan——特征根法，分有无重根．常系数线性递推数列an+k=ckan+k-1+…+c2an+1+c1an，可用特征根得通项公式

2、．如an+3=c3an+2+c2an+1+c1an，对应特征方程为x3=c3x2+c2x+c1，设三个根为x1，x2，x3．若它们互不相等，则；若x1=x2¹x3．则．（5）——不动点法：设两根为α，β．当α¹β时，数列{}是等比数列；当α=β时，数列{}是等差数列（）．例1（1）已知数列{an}满足：a1=-1，an+1=3an+2n，求an．（2）已知数列{an}满足：a1=1，an+1+an+2n+3=0，求an．例2（1）已知数列{an}满足：a1=4，an+1=2an+3n，求an．（2）已知数列{an}

3、满足：a1=1，an+1=3an+3n，求an．例3已知数列{an}满足：a1=2，(n+2)an+1=nan，求an．例4已知数列{an}满足：a1=a2=1，an+2=an+1+an，求an．4竞赛数列问题（陈兆华）例1已知数列{an}满足：a1=1，an+1=，求an．例2已知数列{an}满足：a1=1，an+1an=3n，求an．例3已知数列{an}满足：a1=1，an+1=，求an．例4已知数列{an}满足：a0=0，an+1=5an+，求an．例5数列{an}满足：a1=1，，且an+1>an，求an．

4、例6已知数列{an}满足：a1=1，an+1=()，求an．例7已知数列{xn}满足：x1=1，xn+1=()，求xn．例8在数列{an}中，a1=1，，，求数列{an}的通项公式．例9（2009中科大）正数数列{xn}，{yn}满足，，证明：存在正整数n0，对任意正整数n>n0，有xn>yn恒成立．例10若数列{an}满足a1=a2=1，（n≥3，），求通项公式．4竞赛数列问题（陈兆华）例1（1993全国联赛）设正数列a0，a1，a2，…，an，…满足，且a0=a1=1，求数列{an}的通项公式．例2（2001全

5、国）设数列{an}，{bn}满足：a0=1，b0=0，且．证明：是完全平方数．二、证明数列性质有些问题，难以求出通项公式，可利用条件证明相关性质．例3已知数列{an}是一个首项为9，公差为7的等差数列，则此数列的第100个完全平方数是第________项．例4一个等差数列的各项均为实数，公差是4，其首项的平方与其余各项的和不超过100，则这个数列的项数最大值为________．例5（2008武大）已知数列{an}满足：，且a1=2．（1）求证：；（2）求证：．例6（2006武大）如果正数列{an}满足an-1+an

6、+1≥2an(n≥2，)．（1）求证：ap-aq≥(p-q)(aq+1-aq)；（2）若数列{an}的前n项和为Sn，求证：．例7求所有正整数n（n≥3），使得下述命题成立：设a1，a2，…，an成等差数列，若a1+2a2+…+nan为有理数，则a1，a2，…，an中至少有一个为有理数．例8数列{an}中，a0=0，，n=0，1，2，…，其中k4竞赛数列问题（陈兆华）为给定的正整数．证明：数列的每一项都是整数，且2k

7、a2n，n=0，1，2，…．例1数列{an}中，a1=1，，n=1，2，…．证明：对任意n>1，均

8、为正整数．例2数列{an}中，a1=a2=1，a3=m，（n≥3，），其中k，m是互质的整数，求证：当且仅当k=rm-1（r）时，an都是整数．例3已知无穷数列{an}满足a0=x，a1=y，（n=1，2，…）．（1）对于怎样的实数x，y，总存在正整数n0，使得n≥n0时，an恒是常数？（2）求通项an．例4设{an}为正数数列，其中a1可任意取，当n≥1时，．证明：至少存在一个n，使an为无理数．例5整数数列{an}满足如下条件：a1=2，a2=7，（n≥2）．证明：对于所有n>1，an为奇数．例6已知整数数列a

9、0，a1，a2，a3，…同时满足下列条件：（1）；（2）2a1=a0+a2-2；（3）对任意正整数m，在数列a0，a1，a2，…中存在k≥m，使得ak是完全平方数．求证：数列a0，a1，a2，…中的每一项都是完全平方数．