循环数列通项公式

《循环数列通项公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、循环数列的通项公式江苏省丹阳高级中学杨松扣大家都知道，数列在某种程度上来说就是一个函数，不过它的定义域是自然数集或者是它的子集：｛1，2，3，…，n｝。因此求数列的通项公式，实际上就是求函数的解析式，而初等数学中的周期函数主要是三角函数，下面就讨论一些可以利用三角函数性质的循环数列的通项公式的求法。我们先从数列，1，，1，…谈起，大家利用得较多的是，三角形式还可以写成和的形式。这样数列1，2，1，2，1，2，…可以构造成：，，，，，，……，它的通项公式可以写成：(n∈N)，或者写成：(n∈N)，或者写成：(n∈N)，一般地

2、，数列a，b，a，b，a，b，……它的通项公式可以写成：(n∈N)。如何求数列：1，2，3，1，2，3，1，2，3，……和数列：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……的通项公式呢？注意到1，2，3可以分解成，，的形式，如果我们能给出，0，1，，0，1，……的通项公式便可以了，这可以理解成周期为3的数列，我们，把它与周期为π的函数进行改造，使它们能发生联系。事实上，当x分别为，0，，，，，……时，的值分别为，0，，，0，，……这样，0，1，，0，-4-1，……的通项公式可以写成：，∴(n∈N)。下面再讨论数列：

3、1，2，3，4，1，2，3，4，……的通项公式。我们先做以下变换：扩大2倍：2，4，6，8，2，4，6，8，……减去它们的平均数5：，，1，3，，，1，3，……分解成两个数列：(1)，1，，1，，1，，1，……(2)，，2，2，，，2，2，……(1)的通项公式为易得，(2)的通项只要求出，，，，，，，，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数()。以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：(n∈N)，∴，，2，2，，，2，2，……的通项为：(n∈N)，∴，，1，3，，，1，3，……的通项为：(n∈N)，则

4、原数列的通项为：(n∈N)。此外还可以再把，，1，1，，，1，1，……分成两个数列：，0，1，0，，0，1，0，……和0，，0，1，0，，0，1，……它们的通项公式分别为和，经过化简便可得到同上一样的答案。下面再讨论可转化成循环数列的一类数列的通项公式。：1，1，2，2，3，3，4，4，……；-4-：1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，……；：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……；对于数列来说，当n为奇数时，；当n为偶数时，，则有：(n∈N),也可以采用以下变形：扩大一倍得：2，

5、2，4，4，6，6，……，减去n得：1，0，1，0，1，0，……，易得(n∈N)。讨论：1，1，1，2，2，2，3，3，3，4，4，4，……，乘以3得：3，3，3，6，6，6，9，9，9，12，12，12，……，减去(n+1)得：1，0，，1，0，，……，由前面讨论得它的通项公式：(n∈N)即有：(n∈N)整理可得：(n∈N)最后讨论：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式。乘以(－4)得：，，，，，，，，，，，，……，-4-加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，

6、3，4，……，它的通项公式为：又化简整理得：(n∈N)。由上讨论可见，象这样一些循环数列，均是通过三角函数的某些性质求出了它们的通项公式，只要平时注意观察、归纳，到时运用起来就得心应手了。-4-