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1、网上交流问题答疑新疆奎屯市第一高级中学王新敞wxckt@126.comFibonacci数列的通项公式高中《数学》（二年级第二学期）第82页上有这样一道例题： 例７ 如果a1=1,a2=1,且an+2=an+1+an(n=1,2,…)，试写出这个数列的前6项。 这个数列的前6项依次是1,1,2,3,5,8. 我们又从上海教育出版社出版的《高中数学学习导引》（二年级第二学期）第227～230页上看到，这个数列叫做Fibonacci数列，作者提供了数列的通项公式，同时又声明：“从数列的递推公式求得数列的通项公式并非易事，”所以“
2、对这个公式如何得来不加研究。” 老师在课堂上又提供了一点思路：实际上，我们在解一阶递推方程 an+1=pan+q时已学会将它改写成 an+1+c =p（an+c）的形式，仿照这一思路，二阶递推方程 an+2=an+1+an也可改写为 an+2-pan+1=q(an+1-pan)的形式，这里的p与q由“特征方程”x2=x+1确定，于是解得 p=(1-√5)/2，q=(1+√5)/2或 p=(1+√5)/2，q=(1-√5)/2.5)/2
3、 老师在黑板上选了第一组p,q值，得 an+2-(1-√5)/2·an+1=(1+√5)/2·(an+1-(1-√5)/2·an)很明显，an+1-(1-√5)/2·an是以a2-(1-√5)/2·a1为首项，(1+√5)/2为公比的等比数列，于是 an+1-(1-√5)/2·an＝[(1+√5)/2]n①这样一来，二阶方程已经化成了一阶，限于时间，老师的说明戛然而止。· 在听课时，我在草稿纸上选了第二组p,q值，得 an+2-(1+√5)/2·an+1=(1-√5)/2·(an+1-(1+√5)/2·an)由此得到的是
4、an+1-(1+√5)/2·an＝[(1-√5)/2]n ②显然①式与②式所表达的是an+1与an之间的不同关系，哪个才是正确的？老师说都对。我想，既然如此，把①式与②式联立，不就解出an了吗？得出的通项公式果然很“难看”： an＝{[(1+√5)/2]n-[(1+√5)/2]n}／√5 经过这番探求，我的好奇心得到了满足。我们惊异地发现，这么一个带有根号的繁琐的式子，代入化简后居然展现出一个令人赏心悦目、完全由自然数组成的数列。此外，我还独立找出了一种解某一类二阶递推方程的一般方法。Fibonacci数列介绍网上交流问题答疑新疆
5、奎屯市第一高级中学王新敞wxckt@126.com1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的「算盘全书」。他在书中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在牠出生后的第三个月里，又能开始生一对小兔，假定在不发生死亡的情况下，由一对出生的小兔开始，50个月后会有多少对兔子？在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对兔子。再过多一个月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有三对小兔子。如此推算下去，我们便发现一个规律：网上交流问题答
6、疑新疆奎屯市第一高级中学王新敞wxckt@126.com时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)11012011311241235235635875813881321913213410213455 由此可知，从第一个月开始以后每个月的兔子总数是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…若把上述数列继续写下去，得到的数列便称为斐波那契数列。数列中每个数便是前两个数之和，而数列的最初两个数都是1。若设F0=1,F1=1,F2=2,F3=3,F4=5,F5=8,F6=13...则：当n＞1时，F
7、n+2=Fn+1+Fn，而F0=F1=1。下面是一个古怪的式子：Fn看似是无理数，但当n≧0时，Fn都是整数 网上交流问题答疑新疆奎屯市第一高级中学王新敞wxckt@126.com利用斐波那契数列来做出一个新的数列：方法是把数列中相邻的数字相除，以组成新的数列如下：当n无限大时，数列的极限是： 这个数值称为黄金分割比，它正好是方程式x2+x-1=0的一个根。根据以上结论，伊人天使所提问题的答案为：答：数列0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…的通项公式为：第n+100的值是：新疆奎屯市第一高
8、级中学王新敞wxckt@126.com2003/7/9
