论文--Fibonacci数列通项公式的几种求法及实际运用

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1、2011年几代论文作者：徐婧学号：04011213Fibonacci数列通项公式的几种求法及实际运用摘要关于Fibonacci数的问题是一个古老的数学问题,它是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出来的.对于Fibonacci数列通项公式的求法，一直是数学家和数学爱好者一直所感兴趣的，到现在为止人们一般采用的初等方法，即递归法、迭代法、通项公式法等。但是我在本文中除过以上方法又增加了循环数列的特征根法和利用矩阵的对角化及二阶常系数差分方程，以及利用把所学的C++编程等相关理论所做的九种方法。关键词Fibonacci数列二项式系数循环数列矩阵的对角化

2、差分方程C++程序引言关于Fibonacci数列的问题是一个古老的数学问题,它是由意大利著名数学家Fibonacci于1202年提出来的.这个问题是：把一对兔子（雌、雄各一只）在某年的开始放到围栏中,每个月这对兔子都生出一对新兔子,其中雌、雄各一只.从第二个月开始,每对新兔子每个月也生出一对新兔子,也是雌、雄各一只.问一年后围栏中有多少对兔子？下面将给出Fibonacci数列通项公式的九种求法：1、生成函数法1.1法1：（和利用C++的思想一致利用的都是递推）对于令表示第个月开始时围栏中的兔子对数.显然有.在第个月的开始,那些第个月初已经在围栏中的兔子仍然存在,

3、而且每对在第个月初就存在的兔子将在第个月生出一对,所以有新兔子第13页共13页2011年几代论文作者：徐婧学号：04011213这只是一个带有初值的递推的关系,如果规定,则递推关系就变成满足递推关系的数列就叫做Fibonacci数列,它的项就叫做Fibonacci数.下面我就来求解这个递推关系.它的特征方程为其特征根为所以,通解为带入初值来确定和,得到方程组解这个方程组,得所以,原递推关系的解为第13页共13页2011年几代论文作者：徐婧学号：040112131.2法2：数列的生成函数与通项公式可表示为是方程的两个根。通过求和的幂级数展开式，有即2、二项式系数法

4、Fibonacci数可以表示为二项式系数之和,即第13页共13页2011年几代论文作者：徐婧学号：04011213其中,证明当时,有,即所以,只需证明下面的等式成立就可以了,即证明用归纳法证明.当时,有等式成立.假设对等式都成立,则有由归纳法,命题成立.3、循环数列特征根法Fibonacci数列由，定义，试求Fibonacci数列通项公式。定义若数列的项满足（1）则称为k阶循环数列，这里k是固定的正整数，是与n无关的常量（1）式为的循环方程；方程　（2）称为的特征方程，（2）的根称为特征根的值为初始值。第13页共13页2011年几代论文作者：徐婧学号：04011

5、213定理若（2）有k个不同的单根则　（3）这里是待定系数，可由初始条件确定。解是二阶循环数列，其特征方程为的特征根为由初始条件可得关于待定系数的方程组　由此解得代入（3）得4、利用矩阵的对角化Fibonacci数列由，定义，试求Fibonacci数列通项公式。解：将Fibonacci数列改写为：，其中，即设，现在计算，求A的特征值和特征向量。，第13页共13页2011年几代论文作者：徐婧学号：04011213A的特征值为对应的特征向量为构造矩阵，再求得于是故（注意）将特征值代入上式有5、二阶常系数差分方程法(此方法从网上查找)Fibonacci数列由，定义，试

6、求Fibonacci数列通项公式。第13页共13页2011年几代论文作者：徐婧学号：04011213解为了求出通项我们将Fibonacci数列改写为其中的形式，这是一个二阶常系数差分方程，其特征方程为，有两个不相等的实数根而方程的通解为由可得关于待定系数的方程组由此解得，代入通解得6、利用C++程序实现∵Fib(n)=0;n=0Fib（n）=1;n=1Fib(n)=fib(n-2)+fib(n-1);n>1∴设计程序如下：#include#includeusingnamespacestd;constintm=20;intma

7、in(){intn,fib0=0,fib1=1,fib2;cout<

8、　X1=(1+√5)/2