无穷大量和无穷小量&极限的运算法则

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1、第五讲Ⅰ授课题目：§2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。Ⅱ教学目的与要求：1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系；2、掌握极限的运算法则。Ⅲ教学重点与难点：1、无穷大与无穷小的概念、相互关系；2、用极限的运算法则求极限。Ⅳ讲授内容：§2.4无穷大量与无穷小量一、无穷大的概念：引例：讨论函数，当时的变化趋势。当时，越来越大(任意大)，即：，要，也即：，，当时，有：。定义2.9：，变量在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，成立，则称变量是无穷大量，或称变量趋于无穷大，记：

2、。如：，，。注1.若：，则习惯地称此时的极限为无穷(大)；2.无穷大不能与很大的数混淆；3.无穷大与无界变量的区别；例如：当时，，无界，但非无穷大，时，为有限数。例1函数又当时，此函数是否为无穷大？为什么？解用反证法若：当时，非无穷大，，取，当充分大时必有，而与(1)式矛盾。时，，非无穷大。4.无穷大运算的结论：(1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量；(2)两个无穷大量之积是无穷大量；(3)有限个无穷大量之积是无穷大量。二、无穷小量：1.概念：定义2.10以零为极限的变量称为无穷小量。例如：，则称时，变

3、量是无穷小量。注无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。2.两个重要结论：结论1定理2.9，，。例如：，，而：，。结论2定理2.10若：，且：，推论若：为常数，。例如：，，。三、无穷大量与无穷小量的关系：定理2.11若：，；若：。例如：，。注无穷大、无穷小与极限过程有关。四、无穷小的阶(无穷小的比较)：1.概念：定义2.11设是关于同一过程的无穷小，也是关于同一过程的极限，若：，则称是比较高阶的无穷小，记：；若：，则称是比低阶的无穷小；若：，则称是与同阶的无穷小；特别地：时，称与是等价的无穷

4、小，记：~。例如：，时，与是同阶无穷小。注1.同一过程的无穷小方能比较；2.存在，方能比较。2.重要结论：定理2.12若：~，~，且：，则=。常用的等价无穷小：时，~~，……。例2设：时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则解，；又：，，即：，故：。§2.5极限的运算法则定理2.13若：，。推论1，，。推论2，注可推广到有限个。定理2.14若：，推论1，，推论2，注可推广到有限个。推论3，，推论4，为常数推论5，()，。定理2.15若：，。例1求：。解注若：是一多项式，则：。例2求：若：是。解注若：

5、是多项式，则：=。例3研究：解，。例4求：。解例5求：。()解例6求：。解例7求：。解例8求：。解例9求：。解注(是常数，且：，)。例10已知：，研究：，，。解，，；又：；。例11求：解。例12求：解====。Ⅴ小结与提问:1.无穷小与无穷大是相对于过程而言的主要内容：两个定义，三个定理，一个推论；几点注意：五点注意。2.无穷小的阶意义：同一过程的无穷小的比较，比较趋于零的快慢；应用：等价无穷小在求极限中有非常巧妙的应用。3.极限的运算法则在极限存在的情况下，和、差、积、商(分母非零)的极限等于极限的和

6、、差、积、商。Ⅵ课外作业：7~13.15.19.36.37。