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1、第五节事件的独立性内容分布图示★引例★两个事件的独立性★例1★关于事件独立性的判断★有限个事件的独立性★相互独立性的性质★例2★例3★例4★例5★伯努利概型★例6★例7★例8★例9★例10★例11★内容小结★课堂练习★习题1-5内容要点：一、两个事件的独立性定义若两事件,满足(1)则称,独立,或称,相互独立.注:当,时,,相互独立与,互不相容不能同时成立.但与既相互独立又互不相容(自证).定理1设,是两事件,且,若,相互独立,则.反之亦然.定理2设事件,相互独立,则下列各对事件也相互独立:与,与,与.二、有限个事件的独立性定义设为三个事件,若满足等
2、式则称事件相互独立.对个事件的独立性,可类似写出其定义:定义设是个事件,若其中任意两个事件之间均相互独立,则称两两独立.三、相互独立性的性质性质1若事件相互独立,则其中任意个事件也相互独立;由独立性定义可直接推出.性质2若个事件相互独立,则将中任意个事件换成它们的对立事件,所得的个事件仍相互独立;对时，定理2已作证明,一般情况可利用数学归纳法证之，此处略.性质3设是个随机事件，则相互独立两两独立.即相互独立性是比两两独立性更强的性质,四、伯努利概型设随机试验只有两种可能的结果:事件发生(记为)或事件不发生(记为),则称这样的试验为伯努利(Bermo
3、urlli)试验.设将伯努利试验独立地重复进行次,称这一串重复的独立试验为重伯努利试验,或简称为伯努利概型.注:重伯努利试验是一种很重要的数学模型,在实际问题中具有广泛的应用.其特点是:事件在每次试验中发生的概率均为,且不受其他各次试验中是否发生的影响.定理3（伯努利定理）设在一次试验中,事件发生的概率为则在重贝努里试验中,事件恰好发生次的概率为推论设在一次试验中,事件发生的概率为则在重贝努里试验中,事件在第次试验中的才首次发生的概率为注意到“事件第次试验才首次发生”等价于在前次试验组成的重伯努利试验中“事件在前次试验中均不发生而第次试验中事件发生
4、”,再由伯努利定理即推得.例题选讲：两个事件的独立性例1(讲义例1)从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记{抽到},{抽到的牌是黑色的},问事件、是否独立?注：从例1可见,判断事件的独立性,可利用定义或通过计算条件概率来判断.但在实际应用中,常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.解一利用定义判断.由故事件独立.解二利用条件概率判断.由故事件独立.相互独立性的性质例2已知甲、乙两袋中分别装有编号为1,2,3,4的四个球.今从甲、乙两袋中各取出一球,设{从甲袋中取出的是偶数号球},{从乙袋中取出的是奇数号球},{从两袋中取出的都是偶数号球或都是奇数
5、号球},试证两两独立但不相互独立.证明由题意知,以分别表示从甲、乙两袋中取出球的号数，则样本空间为由于包含16个样本点,事件包含4个样本点:而都各包含4个样本点,所以于是有因此两两独立.又因为所以而因故不是相互独立的.例3加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%,3%,5%,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.解本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便.设为四道工序发生次品事件,为加工出来的零件为次品的事件,则为产品合格的事件,故有例4(讲义例2)如图是一个串并联电路系统.都是电路中的元件.它们
6、下方的数字是它们各自正常工作的概率.求电路系统的可靠性.解以表示电路系统正常工作,因各元件独立工作,故有其中代入得例5(讲义例3)甲,乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p,p≥1/2.问对甲而言,采用三局二胜制有利,还是采用五局三胜制有利.设各局胜负相互独立.解采用三局二胜制,甲最终获胜,其胜局的情况是:“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互不相容,于是由独立性得甲最终获胜的概率为采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需比赛3局(可能赛3局,也可能赛4局或5局),且最后一局必需是甲胜,而前面甲需胜二局.例如,共赛4局,则甲的胜局情况是:“甲
7、乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”,且这三种结局互不相容.由独立性得甲最终获胜的概率为于是当时,即对甲来说采用五局三胜制较为有利;当时,即两种赛制甲,乙最终获胜的概率相同.伯努利概型例6某种小数移栽后的成活率为90%,一居民小区移栽了20棵,求能成活18的概率.解观察一棵小树是否成活是随机试验每棵小树只有“成活”或“没成活”两种可能结果,且可以认为,小树成活与否是彼此独立的,因此观察20棵小树是否成活可以看成是的20重伯努利试验.设所求概率为则由伯努利公式可得例7一条自动生产线上的产品,次品率为4%,求解以下两个问题:(1)从中任取10件,求至少
8、有两件次品的概率;(2)一次取1件,无放回地抽取,求当取到第二件次品时,之前已取到8件正品的概率.解(1)由于一条自动生产
