函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用

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1、函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_0_______________.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：得，假设因为点（，0）和点（）关于对称，所以因此，对一切正整数都有：从而：。本题答案填写：0例2、（2006福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，<0，∴，选D.例3、（安徽卷理）函数对于任意实数满足条件，

2、若则__________。【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由得，所以，则。【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解“只要加2，则变倒数，加两次则回原位”则一通尽通也。例4、设是上的奇函数，，当0≤x≤1时，，则f（7.5）等于（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5解析：由，又是奇函数，故，故选择B。例5、（福建卷）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（B）A．5B．4C．3D．

3、2解析：由的周期性知，即至少有根1，2，4，5。故选择B。例6、（广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II)又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有

4、400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.例7、若f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，它们有相同的定义域，且，求f（x），g（x）的表达式。解：∵①，∴①′，∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴①′②，①+②得：，①-②得：。例8、已知函数（1）指出f（x）在定义域R的奇偶性与单调性；（只须写出结论，无须证明）（2）若a，b，c∈R，且a+b>0，b+c>0，c+a>0，证明：f（a）+f（b）+f（c）>0。（12分）解：（1）f（x）是定义域R上的奇函数且为增函数。（2）由a+b>0得a>

5、-b，由增函数f(a)>f(-b)，且奇函数f（-b）=-f（b），得f（a）+f（b）>0。同理可得f（b）+f（c）>0，f（c）+f（a）>0。相加得：f（a）+f（b）+f（c）>0。例9、．设函数f（x）的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的，有，试判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论。（12分）解：∵，设，则，∴f（-x）=-f（x）；又∵f（x）的定义域关于原点对称，∴f（x）为奇函数。例10、．设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x

6、）+f（y）；（2）设f（2）=1，解不等式。（12分）证明：（1），令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，。（2）解：∵，∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），∴等价于：①，且x>0，x-3>0[由f（x）定义域为（0，+∞）可得]。∵，4>0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴①。又x>3，∴原不等式解集为：{x

7、3

8、在何处才能使运费最省？（12分）解：设AD=x公里，则CD=40-x公里，公里。设每公里的水路费用m，则每公里的路费为2m，由A城到B城的货物的总运费为：①。令显然要求M最小值，只要求y最小值即可。把①整理得：①′，对方程①′或（舍去）。把代入①′解得（公里）。答：将码头建在离A城约23公里处，运费最省。例12、．已知，且。（1）设g（x）=f[f（x）]，求g（x）的解析式；（2）设，试问是否存在实数λ，使在（-∞，-1）递减，且在（-1，0）上递增？解：（1）∵，∴，∴。又，∴。（2），任取，则①。在上递减，且递

9、减①<0，又，则：恒成立，①′。在（-1，0）上递增。且递增①>0，又，则恒成立,②′，由①′、②′知。[解题点拨]本题综合性较强，考查的是复合函数解析式求法、恒等式成立的条件、复合函数单调性等知识点。对于第（2）问，通常可用函数单调性定义来求解，也可以从复合函数角度结合二次函数性质来求解。作业：1、为上的减函数，，则（）（A）（B）（C）（D