穿根法解不等式及习题

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1、穿根法解不等式穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。一、原理穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0（或<0）的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直

2、线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时，按由左至右，从小到大的顺序即可。（一）一次不等式标准形式：f(x)=x-x1>0（或<0）我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。所以可以如图标注，图中+、-用以表示f(x)=x-x1的符号。我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。由

3、此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。（一）二次不等式标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)>0（或<0）(1)x1≠x2时，不妨设x10，处于(x1,x2)内的点满足f(x)<0。当我们动态考察该问题时，我们也可以发现：当点x=a在x2右方时，x-x1、x-x2均正，故有f(x)>0；而当点x=a从x2右侧移动到左侧时，x-x2变为负值，而x-x1符号不变，所以有f(x)必然变号

4、，此时由正变负；而再当点x=a从x1右侧移动到左侧时，x-x1由正变负，而x-x2符号不变，所以f(x)又一次变号，此时由负变正。总之，无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注。(2)x1=x2时，即形如f(x)=(x-x1)2时显然，(-∞,x1)与(x1,+∞)都是f(x)>0的解。而若动态的考察此问题，则有点x=a从x1右侧移动向左侧移动时，由于平方项内的x-x1由正到0又到负，所以f(x)经历了由正到0又回到正的过程。故而f(x)在x1两侧符号同正，只有在x=x1处为0。（一）高次不等式标准

5、形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0（或<0），x1≤x2≤……≤xn(1)x10；而当点x=a从xn右侧移动到左侧时，x-xn符号变化，而其余任一x-xi均不变号，所以有f(x)由正变负；类似可得：对任一i，当点x=a从xi右侧移动到左侧时，x-xi符号变化，而其余每个x-xj(j≠i)都不变号，所以有f(x)必然变号，或由正变负，或由负变正。就这样，由于每过

6、一个xi都恰有一个因式x-xi变号，所以我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根的线，这正是穿根法的原理和名称由来。(2)x1≤x2≤……≤xn且有等号成立时其标准形式可写为f(x)=(x-x1)m1(x-x2)m2…(x-xn)mn>0（或<0），x1

7、i)mi符号不变，f(x)符号也不变，原正仍为正，原负仍为负。这里值得一提的是，每当x=xi成立，即有f(x)=0。所以，使用穿根法当遇到mi为奇，则穿根线在根xi穿过序轴；当遇到mi为偶，则穿根线与根xi接触即回，好像被序轴弹了回去。此称为“奇穿偶回”。一、步骤（一）一元高次不等式对于不等式f(x)>0，其中f(x)为x的高次多项式，用穿根法解的步骤如下：（1）整理——原式化为标准型把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：f(x)=(x-x1)m1(x-x2)m2…(x-xn)mn>0（或<0），m

8、i∈N*(i=1,2,…,n)（2）标根——在序轴上标根将f(x)=0的n个不同的根x1,x2,……xn按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。（3）画线——画穿根线从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，作为穿根线。遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶回”。（4）选解——写出解集如例图，在序轴上方的曲线对应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)<0解集。（一）分式不