专题8-数轴穿根法

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1、专题：数轴穿根法　　“数轴穿根法”又称“数轴标根法”　　第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）　　例如：(x-2)(x-1)(x+1)>0　　第二步：将不等号换成等号解出所有根。　　例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x=2，x=1，x=-1　　第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。　　例如：-112第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。　　第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范

2、围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。　　例如：　　若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。　　因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-12。　　穿根法的奇过偶不过定律：“奇穿过，偶弹回”。　　还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0专项训练：1、解不等式解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。31图1　　　2）因式、、的根分别是、、。在数轴上把它们标出（如图1）。　　3）从最大根3的右上方开始，向左依次穿

3、线（数轴上方有线表示数轴上方有函数图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。4）数轴上方曲线对应的的取值区间，为的解集，数轴下方曲线对应的的取值区间，为的解集。不等式的解集为。在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为什么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应的的集合是大于零不等式的解集，数轴下方曲线对应的集合是小于零不等式的解集。2、解不等式解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。2）因式、、的根分别为、、，在数轴上把它们标出（如图2）。3）从最大根3的

4、右上方开始向左依次穿线，次数为奇数的因式的根一次性穿过，次数为偶数的因式的根穿而不过。32－2图24）数轴上方曲线对应的的取值区间，为的解集，数轴下方曲线对应的的取值范围，为的解集。的解集为数轴标根法、分式不等式、绝对值不等式一、数轴标根法解不等式例1.解下列不等式1.（x-1）（x-2）(x+3)>02.（x-1）（x-2）(x+3)<03.（1-x）（x-2）(x+1)4.（x-1）2（x-2）3(x+1)二．分式不等式思考（1）解集是否相同，为什么？（2）解集是否相同，为什么？解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。方法2：在分母

5、不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1）（2）例2.解下列不等式1.2.3.4.5.6.三、含绝对值的不等式的解法

6、x

7、>a(a>0)________________

8、x

9、0)________________例3:解下列不等式1.2.3.

10、x2-2x

11、>x2.4.巩固练习1.解不等式2.解不等式3.不等式的解集是4.（2012山东理）若不等式的解集为，则实数__________.5.解不等式（2x-1）2（x-2）3(x+1)6.解不等式（3-x）2（x-2）(x+1)7不等式解

12、法15种典型例题典型例题一例1解不等式：（1）；（2）．分析：如果多项式可分解为个一次式的积，则一元高次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为把方程的三个根顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为（2）原不等式等价于∴原不等式解集为说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图．典型例题二例2解下列分式不等式：（1）；（2）分析：当分式不等式化为时，要注

13、意它的等价变形①；②（1）解：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为。（2）解法一：原不等式等价于，∴原不等式解集为。解法二：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为典型例题三例3解不等式分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义；二是根据绝对值的性质：或，因此本题有如下两种解法．解法一：原不等式，即∴或，故原不等式的解集为．解法二：原不等式等价于即∴．典型例题四例4解不等式．分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：或，所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的

14、解集的并集．也可用数轴标根法求解．解法一：原不等式等