专题8-数轴穿根法.docx

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1、专题：数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-112第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”

2、则取数轴下方，穿根线以内的范围。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-12。穿根法的奇过偶不过定律：“奇穿过，偶弹回”。还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0专项训练：1、解不等式(2x1)(x1)(x3)0解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。2）因式(2x1)、(x1)、(x3)的根分别是1、、3。在数轴上把它们211）。标出（如图13x1图123）从最大根3的右

3、上方开始，向左依次穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。4）数轴上方曲线对应的x的取值区间，为(2x1)(x1)(x3)0的解集，数轴下方曲线对应的x的取值区间，为(2x1)(x1)(x3)0的解集。不等式(2x1)(x1)(x3)0的解集为(1,1)(3,)。2在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为什么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应的x的集合是大于零不等式的解集，数轴下方曲线对应x的集合是小于零不等式的解集。2、解不等式(x2)(

4、1x1)2(x3)302解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。2）因式(x2)、(1x1)2、(x3)3的根分别为2、2、3，在数轴上把它们标2出（如图2）。3）从最大根3的右上方开始向左依次穿线，次数为奇数的因式的根一次性穿过，次数为偶数的因式的根穿而不过。4）数轴上方曲线对应的x的取值区间，为(x2)(1x1)2(x3)30的解集，数12轴下方曲线对应的x的取值范围，为(x2)(x1)2(x3)30的解集。(x2)(1x21)2(x3)30的解集为(2,2)(2,3)x2－223图2数轴标根法、分式不等式、绝对值不等

5、式一、数轴标根法解不等式例1.解下列不等式1.（x-1）（x-2）(x+3)>02.（x-1）（x-2）(x+3)<03.（1-x）（x-2）(x+1)04.（x-1）2（x-2）3(x+1)0二．分式不等式思考（1）x30与x3x20解集是否相同，为什么？x2（2）x30与x3x20解集是否相同，为什么？x2解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1）fx0fxgx0（2）fxfxgx0gx00gxgx例2.解下

6、列不等式1.x302.113.2x112xxx34.x23x205.xx306.0x11x22x39x2x三、含绝对值的不等式的解法

7、x

8、>a(a>0)________________

9、x

10、0)________________例3:解下列不等式1.2x132.x1(x1)03.

11、x2-2x

12、>x2.4.x1(x1)0巩固练习1.解不等式2x23x102.解不等式3x113x27x23x3.不等式2x12x1的解集是xx4.（2012山东理）若不等式kx42的解集为x1x3，则实数k__________.5.解不等式（2x-1）2（x-2）3(x

13、+1)06.解不等式（3-x）2（x-2）(x+1)70不等式解法15种典型例题典型例题一例1解不等式：（1）32150；（）23．2xxx(x4)(x5)(2x)02分析：如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)0（或f(x)0）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为x(2x5)(x3)0把方程x(2x5)(x3)0的三个根x10,x25,x33顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集2如下图的阴影部分．∴原不等式解集为x50或x3x2（2）原不等式等价于(x4)(x5)2(x2

14、)30x50x5∴原不等式解集为(x4)(x2)0x或24xxx5或5x4或x2