数轴标根法及习题

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1、数轴穿根法一、概念简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0

2、化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-112第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1

3、)>0的根。在数轴上标根得：-112画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。（如下图所示）三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。（如图三，为（X-1)^2）四、注意

4、事项运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。例1 解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。解x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x

5、x<－1或03}。事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：解原不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）<0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为{x

6、－1

7、}。2．出现重根时，机械地“穿针引线”例2 解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0解将三个根－1、1、4标在数轴上，由图2得，原不等式的解集为{x

8、x<－1或1

9、数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集{x

10、－10解原不等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。解原不等式等价于x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，∵x^2+

11、x+1>0对一切x恒成立，∴x（x－1）（x+1）（x－2）>0，由图4可得原不等式的解集为{x

12、x<－1或02}数轴标根法-练习题1.不等式x2﹣6x+8≤0的解集为　_________　.2.的解集为________________3.的解集为_________________4.的解集为__________________5.的解集为___________________6.的解集为______________7.的解集为__________________8.的解集为_______________

13、_9.的解集为___________________10.的解集为________________11.的解集为_______________12.的解集为___________________13.的解集为________________14．（2013•广东）不等式x2+x﹣2＜0的解集为　_________　．15．（201