穿根法解高次不等式

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1、穿根法解高次不等式一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿).③数轴上方曲线对应区域使“>”成立,下方曲线对应区域使“<”成立.例1:解不等式(1)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0(2)≤1解:(1)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>02-4-5根据穿根法如图不等式解集为{x∣x>2或x<-4且x≠5

2、}.(2)变形为≥0221131根据穿根法如图不等式解集为{x

3、x<或≤x≤1或x>2}. 【例2】 解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．【分析】 如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)＞0顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分．(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0∴原不等式解集为

4、｛x

5、x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝．【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照(2)的解法转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)．二．数轴标根法”又称“数轴穿根法”　　第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）　　例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0　　第二步：将不等号换成等号解出所有根。　　例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根

6、为：x1=2，x2=1，x3=-1　　第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。　　例如：-112　　第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。　　第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。　　例如：　　若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。　　在数轴上标根得：-112　　画穿根线：由右上方开始穿根。　　因为不等号为“>”则取数轴上方

7、，穿跟线以内的范围。即：-12。　　运用序轴标根法解题时常见错误分析　　　　当高次不等式ｆ（ｘ）＞０（或＜０）的左边整式、分式不等式φ（ｘ）／ｈ（ｘ）＞０（或＜０）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２）…（ｘ－ａｎ）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间ｆ（ｘ）、φ（ｘ）／ｈ（ｘ）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。　　为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再

8、变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图１。　　运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：　　１．出现形如（ａ－ｘ）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。　　例１解不等式ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０。　　解ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２）＞０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图１可得原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或０＜ｘ＜２或ｘ＞３｝。　　事实上，只有将因式（ａ－ｘ）变为（ｘ－ａ）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：　　解原不等式变形为ｘ（ｘ－３）（ｘ＋１）（ｘ－２）＜０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图

9、１，原不等式的解集为｛ｘ｜－１＜ｘ＜０或２＜ｘ＜３｝。　　２．出现重根时，机械地“穿针引线”　　例２解不等式（ｘ＋１）（ｘ－１）２（ｘ－４）３＜０　　解将三个根－１、１、４标在数轴上，由图２得，　　原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或１＜ｘ＜４｝。　　这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：　　解将三个根－１、１、４标在数轴上，如图３画出浪线

10、图来穿过各根对应点，遇到ｘ＝１的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到ｘ＝４的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集　　｛ｘ｜－１＜ｘ＜４且ｘ≠１｝　　３．出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”　　例３解不等式ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２