穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例

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1、穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例摘要：本文通过阐述穿根法解不等式的原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。在原理层面，提出该方法中不等式的标准形式为f(x)=(x-x1)(x-x2)……(x-xn)∨0，规范了序轴的概念，先后由一元一次、二次到高次不等式，动态考察了f(x)的符号变化规律，并介绍如何使用穿根法表达此规律；在步骤层面，对解高次不等式、分式不等式和含等号不等式的操作步骤进行了分类详述；然后通过6个应用范例，进一步展现了穿根法解不等式的具体操作细节和若干注意事项。论文最后概括说明了穿根法的特征和实用意义。关键词：穿根法；解不等式；原理；步骤；应

2、用穿根法，又称序轴标根法，是解一元整式、分式不等式的重要通用方法，特别在解简单高次不等式时，一直居于主流地位。然而，该方法目前尚未进入中学正式教材，在很多资料中，对此法也往往是只提应用，而对其来龙去脉，叙述不清，建构模糊。现结合中学一线教学经验，通过阐述其原理、步骤和应用范例，尝试对其进行系统性的论述。一、原理穿根法解不等式时，一般先将其化为形如：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0（或<0）的标准形式，主要考察f(x)的符号规律。在穿根法中我们引入序轴的概念。序轴是一条有向直线，类似于数轴，但上面不必标出原点，也不必考虑长度单位，只要求在其上标数时

3、，按由左至右，从小到大的顺序即可。（一）一次不等式标准形式：f(x)=x-x1>0（或<0）我们将x-x1=0的根x1标在序轴上，可以发现：x1右边的点都是大于x1的点，即是x-x1>0的解；而x1左边的点都是小于x1的点，即是x-x1<0的解。所以可以如图标注，图中+、-用以表示f(x)=x-x1的符号。我们还可以以动态的思想来考察该问题。当一点x=a从x1右侧向x1左侧移动时，f(x)=x-x1经历了由正到0又到负的符号变换。由此也可得出f(x)的符号可以如图标注的结论。（二）二次不等式标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)>0（或<0）(1)x1≠x2时

4、，不妨设x10，处于(x1,x2)内的点满足f(x)<0。当我们动态考察该问题时，我们也可以发现：当点x=a在x2右方时，x-x1、x-x2均正，故有f(x)>0；而当点x=a从x2右侧移动到左侧时，x-x2变为负值，而x-x1符号不变，所以有f(x)必然变号，此时由正变负；而再当点x=a从x1右侧移动到左侧时，x-x1由正变负，而x-x2符号不变，所以f(x)又一次变号，此时由负变正。总之，无论从哪个方面看，f(x)的符号都可以如图标注。(2)x1=x

5、2时，即形如f(x)=(x-x1)2时显然，(-∞,x1)与(x1,+∞)都是f(x)>0的解。而若动态的考察此问题，则有点x=a从x1右侧移动向左侧移动时，由于平方项内的x-x1由正到0又到负，所以f(x)经历了由正到0又回到正的过程。故而f(x)在x1两侧符号同正，只有在x=x1处为0。（一）高次不等式标准形式：f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0（或<0），x1≤x2≤……≤xn(1)x10；而当点x=a从xn右侧移动到左

6、侧时，x-xn符号变化，而其余任一x-xi均不变号，所以有f(x)由正变负；类似可得：对任一i，当点x=a从xi右侧移动到左侧时，x-xi符号变化，而其余每个x-xj(j≠i)都不变号，所以有f(x)必然变号，或由正变负，或由负变正。就这样，由于每过一个xi都恰有一个因式x-xi变号，所以我们可以从最右上方开始画一条依次穿过各根的线，这正是穿根法的原理和名称由来。(1)x1≤x2≤……≤xn且有等号成立时其标准形式可写为f(x)=(x-x1)m1(x-x2)m2…(x-xn)mn>0（或<0），x1

7、方时，所有x-xi(i=1,2,…,n)均为正，故而f(x)为正。而每当x=a从xi右侧移动到xi左侧时，若mi为奇，则(x-xi)mi由正变负，f(x)符号改变；而若mi为偶，则(x-xi)mi符号不变，f(x)符号也不变，原正仍为正，原负仍为负。这里值得一提的是，每当x=xi成立，即有f(x)=0。所以，使用穿根法当遇到mi为奇，则穿根线在根xi穿过序轴；当遇到mi为偶，则穿根线与根xi接触即回，好像被序轴弹了回去。此称为“奇穿偶回”。一、步骤（一）一元高次不等式对于不等式f(x)>0，其中f(x)为x的高次多项式，用穿根法解的步骤如下：（1）整理——原式化