赵树嫄微积分第四版第六章 定积分

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1、定积分第六章1中国人民大学出版社赵树嫄《微积分》第四版第一节定积分概念的引例由连续曲线y=f(x)(f(x)0),直线x=a,x=b(a

2、有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；3.可积的充分条件：94.规定：5.由定义不难得到：10定积分的几何意义：曲边梯形的面积曲边梯形面积的相反数yoyo11若要求阴影部分的面积,则为12例1利用定义计算定积分解xyo1113例2用定积分表示极限解14第三节定积分的基本性质在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小。性质1（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）性质2(k为常数)性质1,2合称线性性。15说明：不论a,b,c的相对位置如何，上式总成立.例如,则性质3区间可加性证略16证性质4(保号性质)由极限的保号性可知,证略17推论1证18推论2证即19性

3、质5（估值定理）证由性质2，有再由性质4推论1，得mM20性质6（定积分中值定理）证估值定理由闭区间上连续函数的介值定理知，即21积分中值定理的几何解释：上的平均值。22解例1于是23证例2即f(x)单调减少，24第四节微积分基本定理用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理ya0xxy=f(x)Φ(x)25用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理ya0xxy=f(x)Φ(x)第四节微积分基本定理26用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法

4、.定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理ya0xxy=f(x)Φ(x)第四节微积分基本定理27用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理ya0xxy=f(x)Φ(x)第四节微积分基本定理28ya0xxy=f(x)Φ(x)用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理第四节微积分基本定理29ya0xxy=f(x)Φ(x)用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.定理1构造变上限积分函数一、微积分基本定理第四节微积分基本定理30证31由积分中值定

5、理得32原函数存在定理该定理告诉我们，连续函数一定有原函数。原函数。33变限积分函数的求导：证34更一般地，由即可得结论。35例1求下列变限积分函数的导数.36例237例3求下列极限。分析：这是型未定式，应用洛必达法则.解38例3求下列极限.分析：这是型未定式，解等价无穷小替换39例3求下列极限.解分析：这是型未定式，40解例4分离非零因子41练习解42定理2(微积分基本公式)证二、牛顿—莱布尼茨公式43所以—牛顿—莱布尼茨公式44注意上述公式通常称为微积分基本公式,它揭示了定积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法.45例5例6例7例846练习计算解

6、原式47例9求原式解例10求解48解例11设求49例12求原式解50解例1351第五节定积分的换元积分法定理则有52证53注意:(1)应用定积分的换元法时,与不定积分比较，多一事：换上下限；少一事：不必回代；(2)(3)逆用上述公式，即为“凑微分法”，不必换限。54例1例2例355例4计算解原式56例5计算解令原式57例6计算解令原式58例7求积分解令原式几何意义：圆面积的1/4。59例8计算解令原式60例9解令原式61证利用函数的对称性简化计算：62yxoyxo63例10奇函数奇函数奇函数64证例1165第六节定积分的分部积分法定理例1例266例367例4例568例6计算分部

7、积分法与换元法结合：解令原式69例7计算解得到递推公式：70而若n为正偶数，则若n为大于1的奇数，则71即例如，另外，沃利斯(Wallis)公式72例8解73解练习采用分部积分的方法,74第七节定积分的应用(一)平面图形的面积面积元素由连续曲线y=f(x)(f(x)0),直线x=a,x=b(a