引例定积分的定义可积函数类定积分的几何意义例题

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1、◎引例◎定积分的定义◎可积函数类◎定积分的几何意义◎例题第一节定积分的概念第六章定积分abxyo实例1（求曲边梯形的面积）一、问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为实例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割部分路程值某时刻的速度（3）求和（4）取极限路程的精确值（2）近似任

2、取定义二、定积分的定义被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和注意：定理1定理2三、存在定理ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义几何意义：例1利用定义计算定积分解例2*利用定义计算定积分解例3求极限证明利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得故◎定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）◎典型问题⊕估计积分值；⊕不计算定积分比较积分大小．第二节定积分基本性质对定积分的补充规定:说明:在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．一、基本内容证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1证性质2补充：不论的

3、相对位置如何,上式总成立.例若（定积分对于积分区间具有可加性）则性质3证性质4性质5解令于是性质5的推论1：证（1）证说明：可积性是显然的.性质5的推论2：（2）证（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质6解解证由闭区间上连续函数的介值定理知性质7（定积分中值定理）积分中值公式使即积分中值公式的几何解释：解由积分中值定理知有使◎问题的提出◎积分上限函数◎牛顿—莱布尼茨公式第三节微积分基本公式变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出考察定积分记积分上限函数二、积分上限函数及其导数积分上限函数的性质证由积分中值

4、定理得补充证例1求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.证证令定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.定理3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼茨公式令令牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.例4求原式例5设,求.解解例6求解由图形可知例7求解解面积◎换元公式◎应用实例◎几个常用结论第四节定积分的换元积分法定理一、换元公式证应用换元公式时应注意:（1）（2）例1计算解令例2计算解例3计算解原式例4计算解令原式证奇函数例6计算解原式偶函数

5、单位圆的面积证（1）设（2）设几个常用结论：◎分部积分公式◎应用实例第五节定积分的分部积分法定积分的分部积分公式推导一、分部积分公式：例1计算解令则二、应用实例：例2计算解例3计算解例4设求解例5证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数证设积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止于是回顾曲边梯形求面积的问题abxyo一、定积分的元素法第六节定积分的应用面积表示为定积分的步骤如下:（n.（3）求和，得A的近似值1）把区间],[ba分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为y提示（4）求极限，得A的精确值abxodA面积元

6、素元素法的一般步骤：这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．返回二、平面图形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积1、直角坐标系情形解两曲线的交点选为积分变量面积元素两曲线的交点解选为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．xx+dx面积元素曲边扇形的面积2、极坐标系情形解于是所求面积为解利用对称性知返回2a旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、体积1、旋转体的体积旋转体的体积为xy

7、o解直线OP的方程为解解补充利用这个公式，可知上例中2、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积返回四、定积分在经济中的应用例11解