用四个边长为1正方形组成四连方有如图七种

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1、390138011用四個邊長為1的正方形組成的「四連方」有如圖的七種：用這些四連方拼成一塊7´4的矩形最多可以用這七種連方中的幾種？【解答】(1)將7´4的矩形塗成黑白相間如圖：其中黑格與白格各有14個再將七種「四連方」也塗成黑白相間，除了下者為3黑1白或1黑3白以外，其餘必定為1黑1白若要放入七種「四連方」，則必為15黑13白或13黑15白，但7´4的矩形為14黑14白故不可能(2)又下列例子說明可以放入六種「四連方」拼成一塊7´4的矩形故最多可以用六種「四連方」拼成一塊7´4的矩形【評析】本

2、題共計十位同學參與徵答，其中得到7分的有敦化國中時丕勳、中和國小夏誌陽、光華國中楊涵傑、敦化國中許倫愷、江翠國中賴紹文、精誠國中王建詒等六位。本題同學除了要證明不可能放入七種「四連方」拼成一塊7´4的矩形以外，還要再舉出一個例子說明可以放入六種「四連方」拼成一塊7´4的矩形，如此才算完整。39023238011如右圖：AD是∠A的平分線，I在AD上，且∠BIC＝90o＋∠BAC。求證：I是△ABC的內心。【評析】幾何證明的逆定理常用的方法是反證法，利用另一個假設成立然後證明其矛盾，或者證明其重合

3、，此題發絕大部分的學生用此法來證明。但也有利用做輔助線直接來證明，這也是非常漂亮的證法，我們將此兩種漂亮的證法皆提供給大家參考，以下是參加同學的得分就讀學校姓名得分就讀學校姓名得分北縣中和國小夏誌陽7北縣江翠國中賴紹文7北市薇閣國中林志昶5北市敦化國中許倫愷7北市中正國中薛竣壬5北市敦化國中時丕勳7北市士林國中姜俊宇7彰化精城國中王建詒7北縣永和國中陳璿宇7北市師大附中王思貽7新竹光華國中楊涵傑7參考解答：方法一：如下圖，設M為ΔABC的內心，因未知M在I的上方或下方，分別將M於上方及下方設與分

4、開來討論：當M在I的上方∠BC=∠BAC+∠AB+∠AC<∠BAC+∠ABI+∠ACI=∠BIC=90+∠BAC∵為ΔABC的內心，故∠BC=90+∠BAC(矛盾)同理當M在I的下方∠BC=∠BAC+∠AB+∠AC>∠BAC+∠ABI+∠ACI=∠BIC=90+∠BAC∵為ΔABC的內心，故∠BC=90+∠BAC(矛盾)所以I為ΔABC的內心（北市師大附中王思貽同學、北市士林國中姜駿宇同學提供）方法二：1.作∠B，∠C外角的平分線交於J，J為ΔABC的傍心，∠BJC=90-∠BAC2.作ΔABC

5、的外接圓交AD直線於P點，連接BP，CP∵∠BAP=∠CAP，∴3.∠BIC+∠BJC=90+∠BAC+90-∠BAC=180∴B、I、C、J四點共圓，作此圓4.∠BCJ=∠PCJ+∠BCP=∠PCJ+∠BAC，∠JCQ=∠PJC+∠BAC∵∠BCJ=∠JCQ∴∠PCJ=∠PJC∴∴P是B、I、C、J四點共圓的圓心∠ICJ=∠ICB+∠DCJ=905.∠ICJ=∠ICB+∠BCJ=90，又∵∠ACI+∠JCQ=90∠BCJ=∠JCQ，∴∠ICB=∠ACI∴是∠C的內角平分線6.同理可證是∠B的內

6、角平分線，∴I是ΔABC的內心（北縣中和國小夏誌陽同學提供）39032以90個單位立方體與一個邊長為a，一個邊長為c的立方體，構成一個邊長為c的立方體其中a,b,c都是正整數，試求出a,b,c。解：根據題意：可以列式子c3＝a3＋b3＋90。易知，c>a＋b，所以，90＝c3－a3－b3≧3ab(a＋b)Þab(a＋b)≦30不妨假設a≦bÞa的可能值為:1.2.3.5.6.10,15,30。但是，5及5以上的值明顯地不可能。經驗算易得a＝2，b＝3，c＝5或a＝1，b＝5，c＝6，加上a,b的

7、對稱情形共四種。解題評註：本題解題的關鍵和大多的數論問題相同，就是設法找出滿足這個等式中未知數的範圍。同學們大致也能抓住這個重點，當中的差別僅僅在於敘述的繁簡不同。基本上同學的寫法都相當的不錯，這點是相當值得嘉許的。被扣分的兩位同學最主要的原因是沒有考慮到a3＋b3

8、至洋6分：台北中正國中薛竣壬5分：台北金華國中蔣卓穎39043238011斯諾克是一種撞球遊戲,遊戲的簡要規則如下1.正常情況:一次最多只有一球進袋,沒有違規情事發生(以下規則皆在正常情況下)2.遊戲的開始,在球台上規定的位置擺上15顆紅球與6顆色球(分別是黃,綠,棕,藍,橙,及黑色球各一顆);並在規定的區域擺一顆白球(也稱母球)3.遊戲由兩人進行4.每人每次出桿撞擊白球,使白球撞擊紅球或色球進袋(稱將紅球或色球打進袋),可連續出桿至無球進袋時,換對手出桿1.在球台上有紅球時,每打一顆(任一)色