田增伦函数方程代换解法

《田增伦函数方程代换解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、专家名著田增伦函数方程的代换解法虽然函数方程早在200多年前就已经被人们提出并加以研究了.但至今还没有关于函数方程的统一理论和解函数方程的一般方法，也没有关于函数方程的解的存在性和唯一性的判别准则.不仅如此，甚至还有一些函数方程至今未能解出.而且函数方程现有的一些解法，往往要借助于高等数学的工具（例如把函数方程化为微分方程，或者化为有限差分方程等等）.这当然远远超出这本小册子的范围.但是，对于某些特殊的、简单的函数方程，应用初等方法也是能够解出的.其中有一种方法叫代换法.我们就来介绍这种方法.[例5]解函数方程（17）解因原式中，把自变量x换为，于是就换为x.函数方程（1

2、7）化为（18）（17）乘以a，得（19）（18）－（19），得∴.从上例可以看出，代换法的基本思想是这样的：将函数中的自变量x适当地代换以别的自变量（在代换时应注意力求使函数的定义域不发生变化），得到一个新的函数方程.把新得到的这个函数方程与原有的函数方程联立，组成一个关于未知函数的代数方程组.再应用通常的消元法，解这个方程组，就求得了原函数方程的解.至于原来函数中的自变量x用什么东西代换才算是适当的，这就要看所给的函数方程的具体特点了——这属于解题技巧问题.[例6]求函数f(x)，如果，（20）其中，n是奇数.解把x换以-x，由于n是奇数，就有.（21）从（20），（

3、21）中消去，求得.因为n是奇数，可以把换成x，所以最后有.[例7]解函数方程.（22）解把(x-1)代之以x，那末（1-x）就代之以-x，而x就应代之以（1+x）；又如果把（x-1）代之以-x，那末（1-x）就代之以x，而x就应代之以（1-x）.分别代入原函数方程，就得解这个方程组，得知：（1）当时，；（2）当，而时，f(x)不存在；（3）当a=b，且c=0时，f(x)是任何奇函数；（4）当a=-b是，且c=0时，f(x)是任何偶函数.[例8]解函数方程.（23）解依次作下列代换：就得到方程组（24）+（25）-（26），得.就是.记即得.有时候要把自变量代换成具体的数

4、值才行.而当f(x)是定义在自然数上的函数时，往往要进行多次代换，才能求出这个函数.记住等差数列和等比数列前n项和的公式，往往是很有用的.我们知道，当首项为a，公差为d时，等差数列前n项的和（27）特别是当a=1，d=1时，（28）对于首项为a，公差为的等比数列，前n项的和.（29）特别是当时，.（30）[例9]设函数f(n)的定义域是自然数，求f(n)，使它满足条件解设m=1，便有把n顺次用1，2，3，…，(k+1)代换，就得把方程组的所有方程相加，得∴[例10]函数f(n)定义在自然数上，且满足求f(n).解把n分别代换以2，3，4，…，n，便得加在一起就化为所以[例

5、11]（1）n个同学任意排成一队，共有多少种排法？（2）从n个同学中任意选出个同学排队，共有多少种排法？解（1）设n个同学排队，共有f(n)种排法.如果再增加1个同学，让这位同学插入队伍.对于原来n个同学的每一种排法，这位同学可以排在第1名（队首），第2名，第3名，…，第n+1名（队尾），即有n+1种“插”法.因此（35）而依次令n=1，2，3，…，得把这些等式左右两边分别相乘，便有依题意可知f(2)、f(3)、…、f(n)都不为0，故两边同除以f(2)f(3)f(4)…f(n)后，得到∴这里，记号，读做n的阶乘.就是说，n个同学排成一队，共有种排法.（2）设从n个同学选

6、出k个同学排队，共有fk(n)种排法.现在新增加一位同学，共有了(n+1)个同学，仍选出k个同学排队.k个同学排成的队伍可以分为两类：一类是这个新同学没有选进的队伍.这种排法按照假设应共有fk(n)种.另一类是新同学被选入队伍.设想这种队伍的排法是这样实现的：由新同学替换原来队伍中的旧同学.我们来看，如果新同学替换的是原队伍中的第1名，共有多少种排法；乍看起来，因为原队伍共有fk(n)种排法，因而以新同学为队首的排法也有fk(n)种.其实不然.因为在原队伍中，如果队首以后的(k-1)个同学及其排列顺序确定时，这时尚余个同学可充当队首.因而有种排法.但当队首被新同学替换后，

7、就变成1种排法了.可见以新同学为队首的排法为种.同样的，以新同学为第2名，第3名，…，第k名的队伍，排法也各有种.总之，有新同学出现的队伍，排法一共有种.于是，得函数方程.或者.（36）分别令n=k，k+1，…，得相乘，约去等式两边相同的因式（它们显然是不为0的），得但由第（1）题知，所以或者这就是从n个同学中任意选出个同学排队的共有的排法.在这里，我们实际上得到了排列公式：从n个不同的元素里，每次取出个元素，选排列（即k