第7章矩阵特征值和特征向量

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1、第7章矩阵的特征值和特征向量很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。特征值：的根为矩阵A的特征值特征向量：满足的向量v为矩阵A的对于特征值的称为矩阵A的特征多项式是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，从而求得所有特征值的近似。

2、特征向量7.1幂法矩阵的按模最大特征值往往表现为阈值。如：矩阵的谱半径。幂法就是一种求矩阵按模最大特征值的方法，它是最经典的方法。幂法要求A有完备的特征向量系，即A有n个线性无关的特征向量。在实践中，常遇到的实对称矩阵和特征值互不相同的矩阵就具有这种性质。设A的特征值和特征向量如下：特征值：特征向量：幂法可以求，基本思想很简单。设线性无关，取初值，作迭代设：则有：（1）若：则k足够大时，有可见几乎仅差一个常数所以：任意分量相除特征向量乘以任意数，仍是特征向量（2）若：则k足够大时，有所以：所以：算法

3、：1、给出初值，计算序列2、若序列表现为，相邻两个向量各个分量比趋向于常数若序列表现为，奇偶序列各个分量比趋向于常数，则若序列表现为其他，退出不管求矩阵A的按模最大的特征值解取x(0)=(1,0)T,计算x(k)=Ax(k-1),结果如下例kx1(k)x2(k)x1(k)/x1(k-1)x2(k)/x2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.

4、41263可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.决定收敛的速度，特别是

5、2/1

6、希望

7、2/1

8、越小越好。不妨设1>2…n，且

9、2

10、>

11、n

12、。12nOp=(2+n)/2思路令B=ApI，则有

13、IA

14、=

15、I(B+pI)

16、=

17、(p)IB

18、Ap=B。而，所以求B的特征根收敛快。在幂法中，我们构造的序列可以看出因此，若序列收敛慢的话，可能造成计算的溢出或归0改进－幂法的规范运算则，易知：所以，有：最大分量为1即（1）若：

19、时，有时，有收敛分别收敛到反方向的两个向量（2）若：分别收敛到两个向量，且不是互为反号。借助幂法来求特征值和特征向量。计算：则：算法：1、给出初值，计算序列2、若序列收敛，则若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数互为反号，则若序列的奇偶序列分别收敛，且两个数不互为反号，则反幂法所以，A和A－1的特征值互为倒数这样，求A－1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值为避免求逆的运算，可以解线性方程组若知道某一特征根i的大致位置p，即对任意ji有

20、ip

21、<<

22、jp

23、，并且如果(ApI)1

24、存在，则可以用反幂法求(ApI)1的主特征根1/(ip)，收敛将非常快。思路7.1Jacobi方法－对称阵P为n阶可逆阵，则A与P－1AP相似，相似阵有相同的特征值。若A对称，则存在正交阵Q(QTQ=I)，使得直接找Q不大可能。我们可以构造一系列特殊形式的正交阵Q1,...,Qn对A作正交变换使得对角元素比重逐次增加，非对角元变小。当非对角元已经小得无足轻重时，可以近似认为对角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是这样一类方法。1、Givens旋转变换对称阵为正交阵p列q列记：则：变换的

25、目的是为了减少非对角元的分量，则记则的按模较小根所以：2、Jacobi方法取p,q使，则定理：若A对称，则提示：可以证明其中是的非对角元素的平方和解记A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有例用Jacobi方法计算对称矩阵的全部特征值.从而有所以再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得从而A的特征值可取为12.125825,28.388761,34.485401为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间,对经典的Jacobi方

26、法可作进一步改进.1.循环Jacobi方法:按(1,2),(1,3),…,(1,n),(2,3),(2,4),…,(2,n),…,(n-1,n)的顺序,对每个(p,q)的非零元素apq作Jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至(A)<为止.2.过关Jacobi方法:取单调下降收敛于零的正数序列k,先以1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过1的非对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过1时,再换下一个关卡值2,直到关卡值小于给定的精度.