（2015湖北）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+

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1、（2015湖北）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+　　（2015湖北）已知数列{an}的各项均为正数，bn=n（1+1n）nan（n∈N+），e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）=1+x-ex的单调区间，并比较（1+1n）n与e的大小；（2）计算b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3a1a2a3，由此推测计算b1b2…bna1a2…an的公式，并给出证明；（3）令cn=（a1a2…an）1n　　，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn＜eSn．　　（1）解：f（x）的定义域为（-∞，+∞），

2、f′（x）=1-ex．　　当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；　　当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．　　故f（x）的单调递增区间为（-∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．　　当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜ex．　　令x＝1n，得1+1n＜e1n，即(1+1n)n＜e．①　　（2）解：b1a1＝1•(1+11)1＝1+1＝2；b1b2a1a2＝b1a1•b2a2=2…bkbk+1a1a2…akak+1＝b1b2…bka1a2…ak•bk+1ak+1=(k+1)k(k+1)(1+1k+1)k

3、+1＝(k+2)k+1．∴当n=k+1时，②也成立．　　根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．　　（3）证明：由cn的定义，②，算术-几何平均不等式，bn的定义及①得　　Tn=c1+c2+…+cn=(a1)11+(a1a2)12+(a1a2a3)13+…+(a1a2…an)1n　　=(b1)112+(b1b2)123+(b1b2b3)134+…+8226;2(1+12)2＝(2+1)2＝32；　　b1b2b3a1a2a3＝b1b2a1a2•b3a3＝32•3(1+13)3＝(3+1)3＝43．　　由此推测：b1b2…bna1

4、a2…an=（n+1）n．②下面用数学归纳法证明②．　　（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．　　（2）假设当n=k时，②成立，即b1b2…bka1a2…ak＝(k+1)k．　　当n=k+1时，bk+1＝(k+1)(1+1k+1)k+1ak+1，由归纳假设可得　　b1b2b1b2…bn)1nn+1　　≤b11×2+b1+b22×3+b1+b2+b33×4+…+b1+b2+…+bnn(n+1)　　=b1[11×2+12×3+…+1n(n+1)]+b2[12×3+13×4+…+1n(n+1)]+…+bn•1n(n+1)　　=b1(1

5、-1n)+b2(12-1n+1)+…+bn(1n-1n+1)　　＜b11+b22+…+bnn=(1+11)1a1+(1+12)2a2+…+(1+1n)nan＜ea1+ea2+…+ean=eSn．　　即Tn＜eSn．