数列通项公式方法总结

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1、数列通项公式方法总结  不过一般分小题、有梯度设问,往往是第1小题就是求数列的通项公式,难度适中,一般考生可突破,争取分数,而且是做第2小题的基础,因此,求数列通项公式的解题方法、技巧,每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多,不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践,谈谈求数列通项公式的解题思路。  一、已知数列的前几项  已知数列的前几项,求通项公式。通过观察找规律,分析出数列的项与项数之间的关系,从而求出通项公式。这种方法称为观察法,也即是归纳推理。  例1、求数列的通项公式  (1)0,22——1/3,32——1/4,42+1/5……  (2)9,99,999,…… 

2、 分析:(1)0=12——1/2,每一项的分子是项数的平方减去1,分母是项数加上1,n2——1/n+1=n——1,其实,该数列各项可化简为0,1,2,3,……,易知an=n——1。  (2)各项可拆成10-1,102-1,103-1,……,an=10n——1。  此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动,且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质,从而培养学生的思维能力。  二、已知数列的前n项和sn  已知数列的前n项和sn,求通项公式an,主要通过an与sn的关系转化,即an-{s1(n=1)sn-sn——1(n≥2)  例2、已知数列{an}的前n项和sn=2

3、n+3,求an  分析:sn=a1+a2+……+an——1+an  sn——1=a1+a2+……+an——1  上两式相减得sn-sn——1=an  解:当n=1时,a1=s1=5  当n≥2时,an=sn-sn——1=2n+3-(2n——1+3)=2n——1  ∵n=1不适合上式  ∴an={5(n=1)2n——1(n≥2)  三、已知an与sn关系  已知数列的第n项an与前n项和sn间的关系:sn=f(an),求an。一般的思路是先将sn与an的关系转化为an与an——1的关系,再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型,要用不同的方法解决。  (1)an=an——1+k。数列属

4、等差数列,直接代公式可求通项公式。  例3、已知数列{an},满足a1=3,an=an——1+8,求an。  分析:由已知条件可知数列是以3为首项,8为公差的等差数列,直接代公式可求得an=8n-5。  (2)an=kan——1(k为常数)。数列属等比数列,直接代公式可求通项公式。  例4、数列{an}的前n项和sn,a1=1,an+1=2sn+1(n∈n+)  求数列{an}的通项公式。  分析:根据an与sn的关系,将an+1=2sn+1转化为an与an+1的关系。  解:由an+1=2sn+1  得an=2sn-1+1(n≥2)  两式相减,得an+1-an=2an  ∴an+1=3

5、an(n≥2)  ∵a2=2sn+1=3  ∴a2=3a1  ∴{an}是以1为首项,3为公比的等比数列  ∴an=3n-1  (3)an+1=an+f(n),用叠加法  思路:令n=1,2,3,……,n-1  得a2=a1+f(1)  a3=a2+f(2)  a4=a3+f(3)  ……  +)an=an——1+f(n-1)  an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)  例5、若数列{an}满足a1=2,an+1=an+2n  则{an}的通项公式=()  解:∵an+1=an+2n  ∴a2=a1+2×1  a3=a2+2×2  a4=a3+2×3  ……  +)an=an——

6、1+2(n-1)  an=a1+2(1+2+3+…+n-1)  =2+2×(1+n-1)(n-1)  =n2-n+2  (4)an+1=f(n)an,用累积法  思路:令n=1,2,3,……,n-1  得a2=f(1)a1a3=f(2)a2a4=f(3)a3  ……  ×)an=f(n-1)an-1  an=a1·f(1)·f(2)·f(3)……f(n-1)  例6、若数列{an}满足a1=1,an+1=2n+an,则an=()  解:∵an+1=2nan∴a2=21a1  a3=22a2a4=23a3  ……  ×)an=2n——1·an——1  an=2·22·23·……·2n-1a1

7、=2n(n-1)/2  (5)an=pan——1+q,an=pan——1+f(n)  an+1=an+p·qn(pq≠0),  an=p(an——1)q,an+1=ran/pan+q=(pr≠0,q≠r)  (p、q、r为常数)  这些类型均可用构造法或迭代法。  ①an=pan——1+q(p、q为常数)  构造法:将原数列的各项均加上一个常数,构成一个等比数列,然后,求出该等比数列的通项公式,再还原为所求数列的通项公式

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