数列通项公式方法总结

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1、数列通项公式方法总结　　不过一般分小题、有梯度设问，往往是第1小题就是求数列的通项公式，难度适中，一般考生可突破，争取分数，而且是做第2小题的基础，因此，求数列通项公式的解题方法、技巧，每一位考生都必须熟练掌握。求数列通项公式的题型很多，不同的题型有不同的解决方法。下面结合教学实践，谈谈求数列通项公式的解题思路。　　一、已知数列的前几项　　已知数列的前几项，求通项公式。通过观察找规律，分析出数列的项与项数之间的关系，从而求出通项公式。这种方法称为观察法，也即是归纳推理。　　例1、求数列的通项公式　　（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……　　（2）9，99，999，……　

2、　分析：（1）0=12——1/2，每一项的分子是项数的平方减去1，分母是项数加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其实，该数列各项可化简为0，1，2，3，……，易知an＝n——1。　　（2）各项可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。　　此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。　　二、已知数列的前n项和sn　　已知数列的前n项和sn，求通项公式an，主要通过an与sn的关系转化，即an-{s1（n＝1）sn-sn——1（n≥2）　　例2、已知数列{an}的前n项和sn=2

3、n+3，求an　　分析：sn=a1+a2+……+an——1+an　　sn——1＝a1+a2+……+an——1　　上两式相减得sn-sn——1=an　　解：当n=1时，a1=s1=5　　当n≥2时，an=sn-sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1　　∵n=1不适合上式　　∴an={5（n=1）2n——1（n≥2）　　三、已知an与sn关系　　已知数列的第n项an与前n项和sn间的关系：sn=f（an），求an。一般的思路是先将sn与an的关系转化为an与an——1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。不同的类型，要用不同的方法解决。　　（1）an=an——1+k。数列属

4、等差数列，直接代公式可求通项公式。　　例3、已知数列{an}，满足a1=3，an=an——1+8，求an。　　分析：由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。　　（2）an=kan——1（k为常数）。数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。　　例4、数列{an}的前n项和sn,a1=1，an+1=2sn+1（n∈n+）　　求数列{an}的通项公式。　　分析：根据an与sn的关系，将an+1=2sn+1转化为an与an+1的关系。　　解：由an+1=2sn+1　　得an=2sn-1+1（n≥2）　　两式相减，得an+1-an=2an　　∴an+1=3

5、an（n≥2）　　∵a2=2sn+1=3　　∴a2=3a1　　∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列　　∴an=3n-1　　（3）an+1=an+f（n），用叠加法　　思路：令n=1，2，3，……，n-1　　得a2=a1+f（1）　　a3=a2+f（2）　　a4=a3+f（3）　　……　　+）an=an——1+f（n-1）　　an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）　　例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n　　则{an}的通项公式=（）　　解：∵an+1=an+2n　　∴a2=a1+2×1　　a3=a2+2×2　　a4=a3+2×3　　……　　+）an=an——

6、1+2（n-1）　　an=a1+2（1+2+3+…+n-1）　　=2+2×（1+n-1）（n-1）　　=n2-n+2　　（4）an+1=f（n）an，用累积法　　思路：令n=1，2，3，……，n-1　　得a2=f（1）a1a3=f（2）a2a4=f（3）a3　　……　　×）an=f（n-1）an-1　　an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）　　例6、若数列{an}满足a1=1，an+1=2n+an，则an=（）　　解：∵an+1=2nan∴a2=21a1　　a3=22a2a4=23a3　　……　　×）an=2n——1·an——1　　an=2·22·23·……·2n-1a1

7、=2n（n-1）/2　　（5）an=pan——1+q，an=pan——1+f（n）　　an+1=an+p·qn（pq≠0），　　an=p（an——1）q，an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）　　（p、q、r为常数）　　这些类型均可用构造法或迭代法。　　①an=pan——1+q（p、q为常数）　　构造法：将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式