数列通项公式的方法总结

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1、专题一：求解通项公式（1）观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：（2）（3）（4）.点评：关键是找出各项与项数n的关系。（2）定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例2：已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q－1)，(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解：(1)∵a1

2、=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2，∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1（3）公式法：已知（即）求，用作差法：。例:3：(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{}的前n项和为满足＞1且6=n∈求{}的通项公式。解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得=0∵＞0∴从而{}是首项为2，公差为3的等差数列，故{}的通项为=2+3(n-1)=3n-1.小扩展：已知求

3、，用作商法：（3）迭加法：若求：。例4：已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，（4）迭乘法：已知求，用累乘法：例5．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.　　解析：由题意　　　　　∴　　　　　∵，∴，　　　　　∴，　　　　　　∴，又，　　　　　∴当时，，　　　　　当时，符合上式　　　　　∴.（5）倒数法：形如的递推数列都可以用倒数法求通项例6：已知数列{}，=，，求=？解：把原式变形得两边同除以得∴是首项为，d=的等差数列故∴。（6）构造等比数列法:）（1）递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等

4、比数列求解。（2）递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。（3）递推公式为（其中p，q均为常数）解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。例7：(2006.重庆.14）在数列中，若，则该数列的通项例8.已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以例9：（06福建理22）已知数列{}满足=1，=()，求数列{}的通项公式。（5）数学归纳法先根据已知条件结合具体形式进行合理的猜想，然后证明专题一：

5、通项公式的练习1.（2010全国卷2）(6)如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=（A）14(B)21(C)28(D)352.（2010安徽）(5)设数列的前n项和，则的值为（A）15(B)16(C)49（D）643.(2011年高考四川)数列的首项为，为等差数列且.若则，，则(）A）0（B）3（C）8（D）114.(2011年高考全国卷设为等差数列的前项和，若，公差，，则A）8（B）7（C）6（D）55.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，A.B.C.D.6.（2009陕西卷）设等差数列的前n项和为,若,则7.(2011广东卷)等差数列前9项的和等于前4项的和.

6、若，则8.则其通项为9（2009宁夏海南卷理）等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______10.重庆卷理）设，，，，则数列的通项公式=11．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.12已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。13已知数列满足，求数列的通项公式。14已知数列满足，求数列的通项公式。15已知数列满足，求数列的通项公式。16知数列满足，求数列的通项公式。17已知数列满足，求数列的通项公式。18已知数列满足，求数列的通项公式。答案及详解1.【答案】C【解析】本题考查了数列的基础知识。∵，∴2.【答案】A【解析】.【方法技巧】直接根据

7、即可得出结论.3.答案：B解析：由已知知由叠加法.4【答案】D【解析】故选D。5【解析】由得，，则，，选C.6解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.答案:2n7【答案】10【解析】由题得8解：取倒数：是等差数列，9解析由+-=0得到。答案1010解析由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则11解：设数列公差为∵成等比数列，∴，即∵，∴………………………………①∵∴…………②由①②得：，∴点评：利用定义法求数列通