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《求数列通项公式的常用方法（由数列的递推关系求数列通项公式方法总结）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、由递推关系求数列通项问题一“不动点”法由递推公式求英数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键.与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助.1不动点的定义一般的，设/（X）的定义域为Q,若存在x0€D,使成立，则称为的不动点，或称（勺,心）
2、为图像的不动点。2求线性递推数列的通项定理1设/（x）=ax+6（a#ftl）,且为的不动点，满足递推关系=7（^.0,力=2,3,…，证明是公比为3的等比数列。证：・・•是的不动点，所以，所以，所以，・・・数列是公比为a的等比数列。例1已知数列｛aj的前力项和为且$二刀-5。厂85,nelT（1）证明：｛务-1｝是等比数列；（2）求数列｛$｝的通项公式，并求出使得—>%成立的最小正整数”.证：（1）当n=l时，0=—14；当n>2时，臼尸S〃—S-=—5/+5芯】+1,即=勿日+19工2）即务=（力22）,记/（力二■
3、x+2‘令/（x）=x,求出不
4、动点x0=l,由定理1知：6666-1=-1）（«>2）,又曰l1=-15丸，所以数列｛—1｝是等比数列。（2）解略。63求非线性递推数列的通项定理2设/«=——（chO,加-氐工0），且是的不动点，数列满足递推关系，力=2,3,…，cx+d‘记/(x)=2_x丄4“】+丄"1盼1S-1所以数列•：是公差为-1的等差数列，所以$=(i)若,则数列是公比为的等比数列；(ii)=则数列是公差为二＞的等差a+a数列。ax.^b证宀)由题设知內+厂丙Obdx二odx、一b=©-CX0xx；a-cxj同理dx2-b=(a-cx^)X2._(a-cx^)aM+b
5、-dxx_a-ax-xx•_(a-cxg+b-%_a-cx2-x2'所以数列是公比为的等比数列。(ii)由题设知=x的解为Xj=x2=x0,.••且=。所以1_1ca“dcax+dca池七d如-x0"L”■Ao(a~cxQ)ax+b-dx^caxa-cx^.a_dca9-cXo+N+cAqc十d+u心1d+c・1C1-=+J(a-cx0)(ax-x0)a-CAoa-cx^ax-z0a-%a_ca_daw-x0ITcl12c2c=+=+—T7,所以数列是公差为一的等差数列。a_”o务a+da^d例2设数列｛务｝的前”项和为S*,且方程x-a,=0有一根为
6、S*-l。求数列｛aj的通项公式。10~~解:依题=-，且(Sj,-1)-ax•(^-1)-=0,将ax=Sn-代入上式，得乙令/(x)=x,求出不动点x0=l,由定理2(ii)知:因此数列｛oj的通项公式为乙=—例3已知数列｛务｝中，如=1，。“1（I）设c=
7、a=—7T，求数列｛"｝的通项公式.（II）求使不等式冬泅<3成立的c的解:(I)依题a»*l=l"~=5a,~2由定理2（i）知:5x_21~"—令J(x)=x,求出不动点可=二■兀2=2;2x2111a.-22务_2二1两式相除得到"4如~21,所以$a.—*2〒，是以：为公比,14a■—
8、—x2]岛_2丁一2为首项的等比数列,所以,V"务2»-1(II)Z”33解略。>0,贝ijhn^I5是公比为2的等比数列。dx、=b-axlAdx2=b-ax2定理3设/（x）=^U±（a#o），且是的不动点，数列满足递推关系，总=2,3,…，则有2ax+d兀2勺-兀-）；若_1花ax-x2ax+1-Xj_a-a^+b-(2aa9+d)x】_a・aj+b_2a务•州+aXj2-bax>1-x2a・a*+6-(2a-a,^d)x2aax+i-2a•x2+ax2-b=瞬4蝉之也二与，又g>°,则a（务-2axx2+x2）务-勺5一乃・.in坐二鱼=21
9、n生n^♦1-X2a»"X2是公比为2的等比数列。x?-3例4已知数列｛©｝满足xi-4,兀■厂一•⑴求证：X,＞3；⑵求证：X*＜耳；(3)求数列｛xj2xx—4的通项公式.证：⑴、⑵证略；⑶依题"韻’记“)=左’n求出不动点X]=hX?=3；由定理3知I:X*.]<-32x,-4亠会#'和所以4-1(1-1.-3百“’所以I唱⑺，又戸又10g3■x.-11,令q・log3七则数列｛aj是首项为1,公比为2的等比数列.所以xl~JX*-5务二严丿.由§-1003芒
10、，得芒^=罗"・所以3"门_137一3^-1*利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列
11、的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论
