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时间:2018-10-17
《常微分方程解存在唯一性定理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、常微分方程解的存在唯一性定理一阶微分方程(1)其中是在矩形域上的连续函数。 定义1 如果存在常数,使得不等式 对于所有 都成立,则函数称为在上关于满足Lipschitz条件。 定理1如果在上连续且关于满足Lipschitz条件,则方程(1)存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,这里,。Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想。 首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。 任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数 ,显然也是连续函数,如
2、果,那末就是积分方程的解。否则,我们又把代入积分方程右端的,得到2 ,如果,那末就是积分方程的解。否则我们继续这个步骤。一般地作函数 (3.1.1.4)这样就得到连续函数序列:,,…,,…如果,那末就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况,我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数,即 存在,因而对(3.1.1.4)取极限时,就得到 即,这就是说是积分方程的解。这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。函数称为初值问题的第次近似解。 命题1设是方程(1)的定义于区间上,满足初始条件的解,则是积
3、分方程 的定义于上的连续解。反之亦然。 现在取,构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 2 命题2 对于所有的,函数在上有定义、连续且满足不等式。 命题3 函数序列在上是一致收敛的。 设 则也在上连续,且。 命题4 是积分方程的定义于上的连续解。 命题5 设是积分方程的定义于上的一个连续解,则, 。 综合命题1—5,即得到存在唯一性定理的证明。2
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